Page 9 - RMGO 6

Probleme propuse 9

Clasa a XI-a

a
MGO 231. Demonstrat , i c˘ pentru orice matrice A, B ∈ M 3 (C) are loc egalitatea
2
2
2
2

det A + B − AB − det A + B − BA = det (BA − AB) .
Daniel Jinga, Pites , ti
a
MGO 232. Fie (a n ) un s , ir de numere reale cu proprietatea c˘
n≥1
1 a 1 a 2 a n
lim + + . . . + = 1, unde k ∈ N.
n→∞ n k 1 2 n

a 1 + a 2 + . . . + a n
Ar˘atat , i c˘ s , irul este convergent s , i calculat , i limita sa.
a
n k+1 n≥1
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
MGO 233. Determinat , i funct , iile continue f : R → R cu proprietatea c˘
a
f(x) + f(2x) ≤ 0 ≤ f(3x) + f(4x),

oricare ar fi x ∈ R.

Cristinel Mortici, Viforˆata

MGO 234. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

x
x
x
2 · 4 − 7 · 3 + 8 · 2 = 3.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
MGO 235. Fie a 1 ≤ a 2 ≤ . . . ≤ a n lungimile laturilor unui n-gon nedegenerat,
unde n ≥ 4.

… n
2
2
2
2
a) Demonstrat , i c˘ a + a + . . . + a > · a − a 2 1 .
a
n
n
2
1
n − 2
…
n
b) Fie K > un num˘ar real fixat. Ar˘atat , i c˘ inegalitatea
a
n − 2
2
2
2
2
a + a + . . . + a > K a − a 2 1
2
1
n
n
nu este ˆıntotdeauna adev˘arat˘a.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin s , i George Precupescu, Sibiu