Page 8 - RMGO 6

8 Probleme propuse

Clasa a X-a

MGO 226. Dac˘ a, b, c ∈ (1, +∞), demonstrat , i c˘
a
a
log b log c log a ≥ 9
a
c
b
c + a + b a + b + c .
Cˆand are loc egalitatea?

Dorin M˘arghidanu, Corabia
π
h i
MGO 227. Rezolvat , i ˆın 0, ecuat , ia
2
3x log 5 (2 + cos x) = 2π(1 − cos x).
2
Daniel Jinga, Pites , ti

MGO 228. Determinat , i numerele reale β pentru care inegalitatea

s
Å 2 2 2 ã 3
a + b + c 3 3 3
≥ abc + β a + b + c − 3abc
3
are loc pentru orice numere reale a, b s , i c.

Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

MGO 229. Fie λ ≥ 0. Demonstrat , i c˘ ˆın orice triunghi ABC avem
a
2
2
2
2

m + λ m + λ m + λ ≥ 9r + λ 3 .
c
a
b
Cˆand are loc egalitatea?
Marin Chirciu, Pites , ti
∗
MGO 230. Pentru orice n ∈ N not˘am cu a n num˘arul de puncte de coordonate
ˆıntregi, din sistemul cartezian xOy, situate ˆın interiorul p˘atratului de centru O s , i
vˆarf A n (n, 0).
∗
Demonstrat , i c˘a exist˘a o infinitate de numere n ∈ N pentru care num˘arul a n
este p˘atrat perfect.

Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti