Page 13 - RMGO 6

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 13

Clasa a VI-a

MGO 166. Ar˘atat ,i c˘a num˘arul
A = 7 3n+2 + 7 3n+1 + 1

se divide cu 19, pentru orice num˘ar natural n.
Marin Chirciu, Pites , ti
2

Solut ,ie. Avem A = 7 3n 7 + 7 + 1 − 7 3n − 1 = 7 3n · 57 − 7 3n − 1 . Deoarece
3
3
7 3n − 1 se divide cu 7 − 1, iar 7 − 1 s , i 57 se divid cu 19, deducem concluzia.
MGO 167. Se consider˘ num˘arul
a
N = 123 . . . 9101112 . . . 99100101 . . . 99910001001 . . . 20202021.
a) Calculat ,i restul ˆımp˘art ,irii num˘rului N la 11.
a
b) Ar˘atat ,i c˘a num˘arul N + 100 nu este p˘atrat perfect.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie. a) N are 9 + 2 · 90 + 3 · 900 + 4 · 1022 = num˘ar impar de cifre. Conform
criteriului de divizibilitate cu 11, rezult˘ c˘ restul ˆımp˘art , irii lui N la 11 este egal
a
a
cu restul ˆımp˘art , irii lui S la 11, unde S = 1 − 2 + 3 − 4 + . . . − 2 + 0 − 2 + 1.
Avem S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 , unde S 1 = 1 − 2 + 3 − . . . − 8 + 9, S 2 =
(−1+0)+(−1+1)+. . .+(−9+0), S 3 = (−1+0−0)+(1−0+1)+. . .+(9−9+9),
S 4 = (−1 + 0 − 0 + 0) + (−1 + 0 − 0 + 1) + . . . + (−1 + 9 − 9 + 9) s , i S 5 =
(−2 + 0 − 0 + 0) + (−2 + 0 − 0 + 1) + . . . + (−2 + 0 − 2 + 1).

Evident, S 1 = 5.
S 2 este sum˘a de (−a + b) cu a ∈ {1, . . . , 9} s , i b ∈ {0, . . . , 9}, deci S 2 =
(−1 − 2 − . . . − 9) · 10 + (0 + 1 + . . . + 9) · 9 = −45 · 10 + 45 · 9 = −45.
Grupˆand cˆate 10 paranteze, rezult˘a c˘a S 3 este sum˘a de (−a + b − 0) + (a −
b + 1) + . . . + (a − b + 9) = −0 + 1 − 2 + . . . + 9 = 5 cu ab ∈ {10, 11, . . . , 99}, deci
S 3 = 5 · 90 = 450.
a
S 4 este sum˘ de (−1+a−b+c) cu a, b, c ∈ {0, 1, . . . , 9}, deci S 4 = (−1) · 1000+
(0 + 1 + . . . + 9) · 100 = −1000 + 45 · 100 = 3500.
S 5 = (−2)·22+0·22+(−0)·10+(−1)·10+(−2)·2+(0+1+. . .+9)·2+0+1 =
−44 − 10 − 4 + 90 + 1 = 33.
Deci S = 5 − 45 + 450 + 3500 + 33 = 3943 = M11 + 5, prin urmare s , i
N = M11 + 5.
b) Avem N + 100 = M11 + 6, deci N + 100 nu este p˘atrat perfect.