Page 17 - RMGO 6

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 17

MGO 174. Fie ABCDEF un hexagon regulat avˆand latura AB = a, a >
0 s , i centrul O. Determinat ,i cea mai mic˘a valoare a num˘arului a pentru care
a
a
exist˘a o dreapt˘ d ce intersecteaz˘ segmentele (AB), (OB), (OC), (OD) s , i (DE)
ˆın punctele M, N, P, Q, respectiv R astfel ˆıncˆat d ∦ AE s , i toate segmentele
MA, MB, NO, NB, PO, PC, QO, QD, RD, RE au lungimile numere naturale.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
∗
Solut ,ie. Fie MA, MB, NO, NB, PO, PC, QO, QD, RD, RE ∈ N , deci a ∈ N,
∗
a ≥ 2. Not˘am MB = x s , i RD = y, x, y ∈ N . Deoarece MR ∦ AE rezult˘a c˘a
a
x 6= y. Fie x < y (cazul y < x fiind similar). Deoarece MR intersecteaz˘ segmentul
a
(OB) rezult˘ c˘ y < a − x, deci 1 ≤ x ≤ y − 1 ≤ a − x − 2 s , i astfel 1 ≤ x ≤ − 1,
a
a
2
a ≥ 4 s , i x + 1 ≤ y ≤ a − x − 1.
RE − MB a − y − x
Din trapezul BMER avem PO = = , deci x + y + a =
2 2
par.
NB 2a − NB
Din asem˘anarea triunghiurilor NBM s , i NER avem = , deci
x a − y
2ax 2ay
NB = . Analog, QD = .
x + a − y a − x + y
a
a
Pentru a = 4 rezult˘ c˘ x = 1, y = impar, 2 ≤ y ≤ 2, fals.
10
a
Pentru a = 5 rezult˘ c˘ x = 1, y = par, 2 ≤ y ≤ 3, deci y = 2, deci NB = ,
a
4
fals.
a
a
a
Pentru a = 6 rezult˘ c˘ 1 ≤ x ≤ 2. Pentru x = 1 rezult˘ y = impar, 2 ≤ y ≤ 4,
36
a
deci y = 3, deci QD = , fals. Pentru x = 2 rezult˘ y = par, 3 ≤ y ≤ 3, fals.
8
Pentru a = 7 rezult˘a c˘a 1 ≤ x ≤ 2. Pentru x = 1 rezult˘a y = par, 2 ≤ y ≤ 5,
14 14
deci y = 2 sau y = 4, deci NB = sau NB = , fals. Pentru x = 2 rezult˘a
6 4
28
y = impar, 3 ≤ y ≤ 4, deci y = 3, deci NB = , fals.
6
a
a
a
Pentru a = 8 rezult˘ c˘ 1 ≤ x ≤ 3. Pentru x = 1 rezult˘ y = impar, 2 ≤ y ≤ 6,
16 80
deci y = 3 sau y = 5, deci NB = sau QD = , fals. Pentru x = 2 rezult˘ y =
a
6 12
32
par, 3 ≤ y ≤ 5, deci y = 4, deci NB = , fals. Pentru x = 3 rezult˘a y = impar,
6
4 ≤ y ≤ 4, fals.
Pentru a = 9 rezult˘a c˘a 1 ≤ x ≤ 3. Pentru x = 1 rezult˘a y = par, 2 ≤ y ≤ 7.
18 18
Pentru y = 2 rezult˘a NB = , fals. Pentru y = 4 rezult˘a NB = = 3 s , i
8 6
72
QD = = 6, deci MA = 8, MB = 1, NO = 6, NB = 3, PO = 2, PC = 7,
12
QO = 3, QD = 6, RD = 4, RE = 5.
Astfel a = 9 este solut , ia problemei.