Page 15 - RMGO 6

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 15

AD AC
a
Aplicˆand aceeas , i teorem˘ ˆın 4AND s , i ˆın 4ADC avem DN = = .
2 4
BD DN 1 BD BC
Prin urmare = = , deci = .
BC AC 4 DN AC
◦
b) Aplicˆand din nou Teorema unghiului de 30 ˆın 4DNM s , i ˆın 4ADM avem
DM AM MN DN 1 MN AM
MN = = . Prin urmare = = , deci = .
2 4 AM AC 4 DN AC
MGO 170. Se consider˘a un triunghi ABC astfel ˆıncˆat cercurile ˆınscrise ˆın
triunghiurile ADB s , i ADC sunt tangente, unde AD este bisectoarea unghiului
BAC, D ∈ (BC).
a) Stabilit ,i natura triunghiului ABC.

b) Dac˘a I 1 este centrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul ADB s , i E este punctul
de tangent ,˘a a laturii AB la acest cerc, aflat ,i m˘asura unghiului ABC astfel ˆıncˆat
punctele E, I 1 s , i D s˘a fie coliniare.

Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

Solut ,ie. Fie I 1 s , i I 2 centrele cercurilor ˆınscrise ˆın triunghiurile ADB, respectiv
a
ADC s , i fie T punctul de tangent , ˘ a lui AD la cercul cu centru I 1 . Cum cercurile
sunt tangente exterioare, deducem c˘a T este s , i punctul de tangent , ˘a a lui AD la
cercul cu centru I 2 . Fie F 1 s , i F 2 picioarele perpendicularelor duse pe BC din I 1 ,
a
a
a
respectiv I 2 (adic˘ punctele de tangent , ˘ a lui BC cu cele dou˘ cercuri).
a) Avem 4ATI 1 ≡ 4ATI 2 (cazul C.U.), deci I 1 T = I 2 T, adic˘a razele celor
dou˘a cercuri sunt egale. Astfel I 1 F 1 = I 2 F 2 s , i cum I 1 F 1 k I 2 F 2 ⊥ BC rezult˘a c˘a
I 1 F 1 F 2 I 2 este un dreptunghi. Cum AD ⊥ I 1 I 2 rezult˘ c˘ AD ⊥ BC, deci AD este
a
a
bisectoare s , i ˆın˘alt , ime ˆın 4ABC, prin urmare 4ABC este isoscel, cu AB = AC.
◦
b) Triunghiul I 1 F 1 D este dreptunghic isoscel, deci m (^BDE) = 45 s , i astfel
◦
din triunghiul DEB dreptunghic ˆın D rezult˘ c˘ s , i m (^ABC) = 45 .
a
a

Clasa a VII-a

MGO 171. Determinat ,i n ∈ N cu proprietatea c˘a num˘arul

n
n
N = 2 · a + 4a + 1
este p˘atrat perfect pentru orice a ∈ N.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti