Page 11 - RMGO 6

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 11

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Clasa a V-a

ˆ
MGO 161. Intr-un centru de ˆınchiriere de vehicule cu pedale mai sunt disponibile
doar biciclete, triciclete s , i mas , inut ,e cu patru rot ,i.

Determinat ,i cˆate vehicule sunt din fiecare fel, s , tiind c˘ num˘arul total de vehicule
a
este egal cu 20, iar num˘arul total de rot ,i este egal cu 44.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
Solut ,ie. Fie a, b, c num˘arul de biciclete, triciclete, respectiv mas , inut , e. Num˘arˆand
totalul de vehicule, respectiv de rot , i obt , inem sistemul

ß
a + b + c = 20
.
2a + 3b + 4c = 44
Sc˘azˆand de dou˘a ori prima ecuat , ie din a doua, rezult˘a c˘a b + 2c = 4, deci b = 2,
c = 1 s , i a = 17.

n
a
MGO 162. Ar˘atat ,i c˘ num˘arul 2021 poate fi scris ca suma a trei p˘atrate perfecte
distincte, pentru orice num˘ar natural nenul n.
Marin Chirciu, Pites , ti
2
2
Solut ,ie. Avem 45 = 2025 > 2021, iar 44 = 1936. Astfel
2
2
2
2
2021 = 44 + 85 = 44 + 9 + 2 ,
a
de unde obt , inem c˘ pentru orice n impar, n = 2k + 1, avem
n
2
2
2021 = 2021 2k · 2021 = 2021 2k 44 + 9 + 2 2
Ä ä 2 Ä ä 2 Ä ä 2
= 44 · 2021 k + 9 · 2021 k + 2 · 2021 k .
a
Pe de alt˘ parte, avem
2
2
2
2
2
2
2021 = 2020 + 4041 = 2020 + 3600 + 441 = 2020 + 60 + 21 ,
de unde obt , inem c˘ pentru orice n par nenul, n = 2k + 2, avem
a
n
2
2
2
2021 = 2021 2k · 2021 = 2021 2k 2020 + 60 + 21 2
Ä ä 2 Ä ä 2 Ä ä 2
= 2020 · 2021 k + 60 · 2021 k + 21 · 2021 k .