Page 12 - RMGO 6

12 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

MGO 163. Fie A cel mai mic num˘ar natural care are exact 2019 divizori naturali,
iar B cel mai mic num˘ar natural care are exact 2021 de divizori naturali.

Comparat ,i numerele A s , i B.
* * *
Solut ,ie. Descompunem ˆın factori primi: 2019 = 3 · 673 s , i 2021 = 43 · 47. Se arat˘
a
40
2
42
2
2
a
c˘ A = 2 672 · 3 s , i B = 2 46 · 3 . Astfel A = 2 46 · 3 · 2 626 s , i B = 2 46 · 3 · 3 . Cum
40
a
a
2 626 = 4 313 > 3 , rezult˘ c˘ A > B.
MGO 164. Se consider˘ num˘arul
a
N = 123 . . . 9101112 . . . 99100101 . . . 99910001001 . . . 20202021.
a) Ar˘atat ,i c˘a numerele N, N + 400 s , i N + 900 nu sunt p˘atrate perfecte.
a
a
b) Exist˘ numere naturale k astfel ˆıncˆat num˘arul N +100k s˘ fie p˘atrat perfect?
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie. a) Cum 021 = M8 + 5, avem N = M8 + 5, deci s , i N + 400 = M8 + 5,
prin urmare N s , i N + 400 nu sunt p˘atrate perfecte.

Cum 1 + 2 + 3 + . . . + 2021 = 2021 · 1011 = (M9 + 5)(M9 + 3) = M9 + 6,
avem N = M9 + 6, deci s , i N + 900 = M9 + 6, prin urmare nici N + 900 nu este
p˘atrat perfect.
2 2
b) Exist˘a m ≥ 1 astfel ˆıncˆat N < 1 0 . . . 0 11 = (M100 + 11) = M100 +
| {z }
m de 0
2
121 = M100 + 21, deci 1 0 . . . 0 11 − N = M100 = 100k, cu k num˘ar natural.
| {z }
m de 0
2
Astfel N + 100k = 1 0 . . . 0 11 este p˘atrat perfect.
| {z }
m de 0
Remarc˘am c˘a exist˘a o infinitate de numere m ca mai sus, deci o infinitate de
numere naturale k astfel ˆıncˆat N + 100k este p˘atrat perfect.

MGO 165. Determinat ,i cifrele a, b s , i c astfel ˆıncˆat a < b < c s , i suma

S = a,(bc) + b,(ca) + c,(ab)

s˘a fie num˘ar natural.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
abc − a + bca − b + cab − c 110(a + b + c) 10(a + b + c)
Solut ,ie. Avem S = = = .
99 99 9
a
a
a
Astfel S este num˘ar natural dac˘ s , i numai dac˘ a+b+c = M9, adic˘ a+b+c = 9
sau a + b + c = 18. Deci solut , iile (a, b, c) sunt: (0, 1, 8), (0, 2, 7), (0, 3, 6), (0, 4, 5),
(1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (1, 8, 9), (2, 7, 9), (3, 6, 9), (3, 7, 8), (4, 5, 9), (4, 6, 8),
(5, 6, 7).