Page 14 - RMGO 6

14 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

MGO 168. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 2021 m s , i BC = 3 m.
Determinat ,i cel mai mic num˘ar natural nenul n cu proprietatea c˘ oricum am
a
alege n puncte distincte pe latura [AB] s , i 2021 de puncte distincte pe latura [CD],
exist˘a trei dintre acestea care s˘a formeze un triunghi avˆand aria mai mic˘a sau
2
egal˘a cu 1 m .
* * *
Solut ,ie. Fie P 1 , P 2 , . . . , P n ∈ [AB] s , i Q 1 , Q 2 , . . . , Q 2021 ∈ [CD], ˆın aceste or-
dini, punctele alese. Dac˘a lu˘am Q 1 = C, Q 2021 = D, Q 1 Q 2 = Q 2 Q 3 = . . . =
2021
Q 2020 Q 2021 = x, avem x = s , i aria oric˘arui triunghi de forma P i Q j Q k este
2020
Q j Q k · 3 3x 3 2021
A = ≥ ≥ · > 1. Deci pentru a avea aria mai mic˘ sau egal˘ cu
a
a
2 2 2 2020
P j P k · 3 2
1 un triunghi trebuie s˘ fie de forma Q i P j P k , de arie A = , cu P j P k ≤ .
a
2 3
Avem P 1 P 2 + P 2 P 3 + . . . P n−1 P n = P 1 P n ≤ AB = 2021. Conform Principiului
| {z }
n−1 segmente
cutiei, printre cele n − 1 segmente exist˘a unul de lungime mai mic˘a sau egal˘a cu
2021 2021 2
a
a
. Astfel este suficient s˘ impunem condit , ia ≤ , adic˘ n ≥ 3033.
n − 1 n − 1 3
Pentru a demonstra c˘a n = 3033 este valoarea minim˘a cerut˘a, trebuie s˘a
ˆ
ar˘at˘am c˘a n = 3032 nu convine. Intr-adev˘ar, luˆand P 1 = A, P 3032 = B s , i
2021
P 1 P 2 = P 2 P 3 = . . . = P 3031 P 3032 = y, avem y = s , i aria oric˘arui triunghi de
3031
P j P k · 3 3y 6063
ˆ
forma Q i P j P k este A = ≥ = > 1. In concluzie, n = 3033.
2 2 6062
MGO 169. Fie ABC un triunghi ˆın care AD este ˆın˘alt ,ime, AM este median˘a,
D, M ∈ (BC), astfel ˆıncˆat simetricul punctului D fat ,˘a de dreapta AM este un
◦
punct E situat pe latura AC s , i m (^DME) = 120 . Fie N punctul de intersect ,ie
a dreptelor AM s , i DE. Ar˘atat ,i c˘a:
BD BC
a) = ;
DN AC
MN AM
b) = .
DN AC
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
Solut ,ie. Deoarece AM este mediatoarea segmentului DE, avem AD = AE
◦
s , i DM = ME. Triunghiul DME este isoscel s , i m (^DME) = 120 , deci
◦
m (^MDE) = m (^MED) = 30 . Rezult˘a c˘a m (^ADE) = m (^ADM) −
◦
m (^MDE) = 60 , deci triunghiul ADE este echilateral. Din m (^CAD) = 60 ◦
◦
a
rezult˘ c˘ m (^ACB) = 30 . Avem s , i m (^MEA) = m (^MED) + m (^AED) =
a
◦
90 , deci ME ⊥ AC.
MC
◦
a) Aplicˆand Teorema unghiului de 30 ˆın 4MEC avem ME = , deci
2
BC BC BC BC
DM = ME = s , i astfel BD = BM − DM = − = .
4 2 4 4