Page 10 - RMGO 6

10 Probleme propuse

Clasa a XII-a

MGO 236. Fie (A, +, ·) un inel s , i fie a, b ∈ A cu propriet˘at , ile:

a
i) dac˘ xay = 0, x, y ∈ A, atunci xa = 0 sau ay = 0;
2
2
ii) a − 2ab + b = 0;
∗
a
iii) exist˘ m ∈ N astfel ˆıncˆat (a − b) m = 0.
3
3
Ar˘atat , i c˘ a = aba s , i (a − b) = 0.
a
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
MGO 237. Fie a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆat a ≤ b ≤ c. Comparat , i numerele

3
A = 9(a + b + c)(ab + ac + bc) s , i B = 2(a + b + c) + 27abc.
George Mihai, Slatina
∗
MGO 238. Fie a ∈ R s , i b > 0. Calculat , i integrala
Z √
e 2ax + be ax + 1
dx, x ∈ R.
e ax
Daniel Jinga, Pites , ti

MGO 239. Fie 0 < a ≤ b. Demonstrat , i c˘
a
2
2
Z b x + 1 b + 1 b − a
ln 2 dx ≥ ln 2 + 2arctg − 2(b − a).
a 2x a + 1 1 + ab
Mih´aly Bencze, Bras , ov
MGO 240. Fie T mult , imea tuturor tripletelor (a, b, c) de numere reale pozitive cu
575
proprietatea c˘ exist˘ un triunghi avˆand lungimile laturilor a, b s , i c. Fie k ≤
a
a
32
un num˘ar real arbitrar fixat. Calculat , i
2 2
2 2
2 2
1 Å b c c a a b ã
inf · + + + kabc .
(a,b,c)∈T (a + b)(b + c)(c + a) a b c
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin