Page 6 - RMGO 6

6 Probleme propuse

Clasa a VIII-a

MGO 216. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia
2
2
2
2x + 2y + z + 2xy + 2yz + 4x + 4y + 2z + 3 = 0.
Miguel Amengual Covas, Spania s , i Doru Anastasiu Popescu, Romˆania
MGO 217. Fie numerele reale a 1 , a 2 , a 3 astfel ˆıncˆat

a 1 + 4a 2 + 9a 3 ≤ 3

a
s , i ka k > −1 pentru orice k ∈ {1, 2, 3}. Demonstrat , i c˘
1 2 3
+ + ≥ 4.
a 1 + 1 2a 2 + 1 3a 3 + 1

Cˆand are loc egalitatea?
Dorin M˘arghidanu, Corabia

MGO 218. Fie n, k ∈ N, n, k ≥ 3. Demonstrat , i c˘ pentru orice a 1 , a 2 , . . . , a n > 0
a
are loc inegalitatea

a k+1 a k+1 a k+1 a k+1 a k a k a k a k
1 + 2 + . . . + n−1 + n ≥ 1 + 2 + . . . + n−1 + n .
k−2
k−1
a k−1 a k−1 a n a k−1 a k−2 a k−2 a n a k−2
2
2
1
3
1
3
George Mihai, Slatina
MGO 219. Fie a, b, c dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic s , i d diagonala
acestuia. Demonstrat , i c˘ egalitatea
a

2a 3 2b 3 2c 3
d = + +
b + c c + a a + b
a
are loc dac˘ s , i numai dac˘ paralelipipedul este cub.
a
Marin Chirciu, Pites , ti
MGO 220. Se consider˘a un plan π s , i un triunghi dreptunghic ABC avˆand
ipotenuza BC inclus˘a ˆın planul π s , i vˆarful A ˆın afara acestui plan. Fie α s , i β
m˘asurile unghiurilor formate cu planul π de dreptele AB, respectiv AC, iar γ
a
a
m˘asura unghiului diedru format de planul (ABC) cu planul π. S˘ se arate c˘
2
2 sin α sin β ≤ sin γ.
Cˆand are loc egalitatea?
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti