Page 5 - RMGO 6

Probleme propuse 5

Clasa a VII-a

a
MGO 211. Se consider˘ ecuat , ia
2
2
2
m + n = 4693 + 13k , m, n, k ∈ Z.
a) Determinat , i o solut , ie a ecuat , iei.
b) Ar˘atat , i c˘ ecuat , ia are o infinitate de solut , ii.
a
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
MGO 212. Fie a un num˘ar ˆıntreg fixat. Rezolvat , i ˆın numere ˆıntregi sistemul de
ecuat , ii
 2
 x = a(a + 1) + y
2
y = a(a + 1) + z .
z = a(a + 1) + x
 2
Marin Chirciu, Pites , ti
MGO 213. Fie numerele reale a, b s , i c. S , tiind c˘
a
2
2
2
8a + 19b + 40c + 32bc ≤ 7,
demonstrat , i c˘
a
2a + 3b + 6c + 6ab + 18bc ≤ 5.
George Mihai, Slatina

◦
MGO 214. Se consider˘a triunghiul ABC cu m (^BAC) = 120 . Fie AD ⊥ AB
cu D ∈ BC, M mijlocul laturii AC s , i N simetricul lui D fat , ˘ de M.
a
S , tiind c˘a BD = 2AD, demonstrat , i c˘a patrulaterul ADCN este un romb s , i
calculat , i raportul dintre aria acestuia s , i aria patrulaterului ABCN.

Florea Badea, Scornices , ti
MGO 215. Fie ABCD un trapez astfel ˆıncˆat AB k CD, AB = 8 cm, CD = 2 cm,
◦
AD = 10 cm s , i m (^DAE) = 30 , unde punctul E este mijlocul laturii BC.
a) Calculat , i distant , a de la punctul C la ortocentrul triunghiului ADE.

b) Calculat , i perimetrul s , i aria trapezului ABCD.

c) Dac˘a O este punctul de intersect , ie a dreptelor AC s , i DE, determinat , i ce
procent reprezint˘ OC din AC.
a
Costel Anghel, Slatina