Page 7 - RMGO 6

Probleme propuse 7

Clasa a IX-a

√ √
MGO 221. Determinat , i m, n ∈ N pentru care numerele m + n s , i n + m sunt
simultan p˘atrate perfecte.

Cristinel Mortici, Viforˆata

∗
MGO 222. Pentru orice n ∈ N se consider˘ funct , ia
a
1
ß ™
f n : R → R, f n (x) = x + .
n

Determinat , i toate tripletele (m, n, k) de numere naturale nenule pentru care

(f m ◦ f n ◦ f k ) (x) = x, ∀ x ∈ R.

George Mihai, Slatina

∗
MGO 223. Fie n ∈ N , a ∈ R s , i
n
2
X (2k − 1) + (2k) 2
S = 2 2 .
2
2
2
2
2
2
(2k − 1) sin a + (2k) cos a (2k) sin a + (2k − 1) cos a
k=1
12n
Ar˘atat , i c˘ ≤ S < 2.
a
(2n + 1)(4n + 1)
Daniel Jinga, Pites , ti
MGO 224. Demonstrat , i c˘ ˆın orice triunghi ABC avem
a
2
2
2
2
2
2
9R 2 sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A 9R 2
≤ + + ≤ .
3
3
3
3
3
3
2p(R − r) sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A 2pr
Marin Chirciu, Pites , ti
MGO 225. Fie XY Z un triunghi neechilateral s , i ABC un triunghi echilateral
a
astfel ˆıncˆat AB = Y Z s , i exist˘ un punct O cu OA = Y Z, OB = ZX, OC = XY .
a) Determinat , i m˘asura unghiului Y XZ.
b) Punctul O se afl˘ ˆın interiorul triunghiului ABC?
a
Leonard Mihai Giugiuc s , i Cezar Alexandru Tr˘anc˘an˘au, Drobeta Turnu Severin