Page 16 - RMGO 6

16 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

n
Solut ,ie. Fie a = 3, deci N = 6 + 13. Pentru n impar, n = 2k + 1, avem
N = (7 − 1) 2k+1 + 13 = M7 + 5, deci N nu este p˘atrat perfect. Pentru n par,
2
n = 2k, avem N = 6 2k + 13, deci: N este p˘atrat perfect ⇔ 6 2k + 13 = m , m ∈ N
ß k
m − 6 = 1
k
k
⇔ (m − 6 )(m + 6 ) = 13 ⇔ ⇔ m = 7 s , i k = 1 ⇔ n = 2.
k
m + 6 = 13
2
2
Cum pentru n = 2 avem N = 4a + 4a + 1 = (2a + 1) , pentru orice a ∈ N,
a
rezult˘ c˘ n = 2 este solut , ia problemei.
a
∗
MGO 172. Demonstrat ,i c˘a pentru orice n ∈ N ecuat ,ia
x 4n = y 2n−1 + z 2n+1
are solut ,ii ˆın mult ,imea numerelor naturale nenule.
Dorin M˘arghidanu, Corabia
∗
Solut ,ie. Fie n ∈ N . Cum
2
2
2
n 4n

(2 ) = 2 4n 2 = 2 · 2 4n −1 = 2 4n −1 + 2 4n −1 = 2 2n+1 2n−1 + 2 2n−1 2n+1 ,
∗
n
a
a
rezult˘ c˘ x = 2 , y = 2 2n+1 , z = 2 2n−1 este solut , ie ˆın N a ecuat , iei date.
a
MGO 173. Pentru orice num˘ar natural n se consider˘ numerele reale
√ √
a = n s , i b = n + 23.
a) Exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆt ˆıntre a s , i b s˘a fie exact cinci numere naturale?
a
b) Exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat ˆıntre a s , i b s˘a nu fie niciun num˘ar natural?
ˆ
In caz afirmativ, determinat ,i cel mai mic num˘ar n cu proprietatea dat˘a.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

a
a
Solut ,ie. a) n ∈ N are proprietatea din enunt , dac˘ s , i numai dac˘
√ √ √ √ √ √
n < n + 1 < n + 2 < . . . < n + 5 < n + 23 ≤ n + 6.
√ √ √ √
Rezult˘a c˘a n + 23 > n + 4, deci n + 23 > n + 8 n + 16, deci 8 n < 7, deci
√
n = 0. Cum pentru n = 0 avem a = 0 s , i b = 23, deci ˆıntre a s , i b se afl˘a doar
a
a
numerele naturale 1, 2, 3, 4, rezult˘ c˘ nu exist˘ n ∈ N cu proprietatea din enunt , .
a
a
a
b) n ∈ N are proprietatea din enunt , dac˘ s , i numai dac˘
√ √
n + 23 ≤ n + 1.
√ √ √ √
Rezult˘a c˘a n + 23 ≤ n + 1, deci n + 23 ≤ n + 2 n + 1, deci n ≥ 11, deci
n ≥ 121. Cum pentru n = 121 avem a = 11 s , i b = 12, rezult˘a c˘a r˘aspunsul este
afirmativ s , i n = 121 este cel mai mic num˘ar natural cu proprietatea din enunt , .