Page 20 - RMGO 6

20 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

pentru k ∈ [0, 1], respectiv
[a + (k + 1)b + kc] [b + (k + 1)c + ka] [c + (k + 1)a + kb] ≥ (5k+6)(6k+7)(7k+5)

pentru k ≥ 1. Not˘am cu E(a, b, c) expresia din membrul stˆang al acestor inegalit˘t , i.
a
Putem presupune c˘ min{a, b, c} = a.
a
a
a
Dac˘ a < b < c, avem a ≥ 2, b ≥ 3, c ≥ 4 s , i rezult˘ c˘ E(a, b, c) ≥ E(2, 3, 4) =
a
(5 + 7k)(7 + 6k)(6 + 5k).
a
Dac˘ a < c < b, avem a ≥ 2, c ≥ 3, b ≥ 4 s , i rezult˘ c˘ E(a, b, c) ≥ E(2, 4, 3) =
a
a
(6 + 7k)(7 + 5k)(5 + 6k).
2 2 2 2 2 2
Dar E(2, 3, 4)−E(2, 4, 3) = (5 · 6 + 6 · 7 + 7 · 5) − (5 · 7 + 6 · 5 + 7 · 6) ·
2
2
(k − k) = −2(k − k).
2
Astfel pentru k ∈ [0, 1] avem −2(k − k) ≥ 0, deci E(2, 3, 4) ≥ E(2, 4, 3), deci
2
E(a, b, c) ≥ E(2, 4, 3) pentru orice a, b, c, iar pentru k ≥ 1 avem −2(k − k) ≤ 0,
deci E(2, 3, 4) ≤ E(2, 4, 3), deci E(a, b, c) ≥ E(2, 3, 4) pentru orice a, b, c, adic˘a
inegalit˘at , ile dorite.
a
a
MGO 180. Fie V ABCD o piramid˘ regulat˘ de muchie lateral˘ V A = a, a fiind
a
a
un num˘ar real pozitiv fixat. S , tiind c˘ volumul piramidei este maxim, determinat ,i:
a) aria bazei;
b) m˘asura unghiului diedru dintre planele (V AB) s , i (V CD).
* * *

Solut ,ie. Not˘am AB = x s , i V O = h, unde V O este ˆın˘alt , imea piramidei. Avem
√
2
x 2 Ä √ ä 4a − 2x 2
2
2
h = a − , deci x ∈ 0, a 2 s , i h = . Astfel volumul piramidei
2 √ 2
2
x 2 4a − 2x 2 √
2
2
este V = . Folosind Inegalitatea mediilor avem x 2 4a − 2x =
6 √
2
√ Ç x + x + 4a − 2x 2 å 3 Ç… x + x + (4a − 2x ) å 3
2
2
2
2
2
2
x · x · 4a − 2x ≤ ≤ =
3 3
Å ã 3 √ √
2a 2a 3
2
2
√ , cu egalitate dac˘ s , i numai dac˘ x = 4a − 2x , adic˘ x = .
a
a
a
3 3
√
2a 3
Astfel volumul piramidei este maxim pentru x = .
3
4a 2
2
Atunci A ABCD = x = .
3
√
… 2
2a a 3 x
2
Avem h = a − = = , deci dac˘ M s , i N sunt mijloacele laturilor
a
3 3 2
AB, respectiv CD rezult˘a c˘a 4MV N este dreptunghic isoscel, de unde obt , inem
◦
a
c˘ m (^ ((V AB), (V CD))) = 90 .