Page 24 - RMGO 6

24 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

1 1 1 m 1
P P P P
· ≤ m √ = √ · 1
1≤i<j≤n x i x j 1≤i<j≤n x i + x j 1≤i<j≤n 2 x i x j 2 1≤i<j≤n x i x j

s
… …
3
m P 1 P m n(n − 1) 4 m n(n − 1)
≤ · 1 = m · = .
2 1≤i<j≤n x i x j 1≤i<j≤n 2 2 8
a
a
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ x i = x j pentru orice i < j, adic˘a, folosind
…
n(n − 1)
egalitatea din ipotez˘a, dac˘ s , i numai dac˘ x 1 = x 2 = . . . = x n = .
a
a
2m
MGO 187. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia
…
1
x
x
x
x
x
2
4 + 25 + 36 + 144 + 400 + − x = 1.
4
Sorin Ulmeanu, Pites , ti
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti). Din condit , ia de existent , ˘ a radicalului rezult˘ c˘
a
a
a
…
ï ò Å ò
1 1 1 1 1
x
2
x
x
x
x
x ∈ − , . Pentru x ∈ − , avem 4 +25 +36 +144 +400 + − x >
2 2 2 2 4
1 1 1 1 1 1
+ + + + = 1, iar x = − este solut , ie a ecuat , iei date, prin urmare
2 5 6 12 20 2
1
ecuat , ia are solut , ia unic˘ x = − .
a
2
MGO 188. Determinat ,i numerele reale k pentru care inegalitatea
2
2
2
a + b + c + 12k ≥ (k + 1)(ab + bc + ca)
are loc pentru orice numere reale nenegative a, b s , i c astfel ˆıncˆat abc ≤ a+b+c+2.
Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
Solut ,ie. Pentru a = b = c = 0 obt , inem 12k ≥ 0, deci k ≥ 0. Fie k un num˘ar
real fixat pentru care inegalitatea are loc s , i fie a = b = x ≥ 0 s , i c = 0. Avem
12k
2
2
12k ≥ (k − 1) x , ∀x ≥ 0. Deci dac˘ prin absurd k > 1, atunci ≥ x , ∀x ≥ 0,
a
k − 1
fals. Deci k ≤ 1.
2
2
2
a
Demonstr˘am inegalitatea pentru k = 1, adic˘ a +b +c +12 ≥ 2 (ab + bc + ca)
pentru orice a, b, c ≥ 0 fixate astfel ˆıncˆat abc ≤ a + b + c + 2. Datorit˘a simetriei,
putem presupune c˘a a ≥ b ≥ c. Not˘am a + b + c = p s , i ab + bc + ca = q, deci
p s , i q sunt fixate. Dac˘a b = 0, atunci c = 0, deci q = 0 s , i inegalitatea este
evident˘a. Fie b > 0, deci q > 0. Este cunoscut faptul c˘a printre numerele reale
nenegative u ≥ v ≥ w care satisfac u + v + w = p s , i uv + vw + wu = q, fie
2
exist˘a ˆın mod unic 0 < y ≤ x astfel ˆıncˆat 2x + y = p s , i x + 2xy = q, (∗), fie
ˆ
2
2

w = 0, (∗∗). Intr-adev˘ar, not˘am p = 3s s , i q = 3 s − t , cu 0 ≤ t < s. Pentru

 2x + y = 3s
s
2
2
0 ≤ t < rezolv˘am sistemul x + 2xy = 3 s − t 2 s , i obt , inem solut , ia unic˘a
2 
x ≥ y > 0