Page 28 - RMGO 6

28 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

este compatibil.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

Ñ é Ñ é
a b c a b c 0
Solut ,ie. Fie A = 2 3 4 s , i A = 2 3 4 0 matricea, respectiv ma-
1 1 1 1 1 1 1
Ñ é Ñ é
a 2 a 2 1
tricea extins˘ asociate primului sistem, iar B = b 3 s , i B = b 3 1
a
c 4 c 4 1
matricea, respectiv matricea extins˘a asociate celui de-al doilea sistem. Avem
t
B = A , deci det A = det B.
a
Cazul 1. Dac˘ det A 6= 0, atunci primul sistem este compatibil determinat, iar
al doilea sistem este incompatibil, deoarece rang B = 3 s , i rang B ≤ 2.

2 3

Cazul 2. Dac˘a det A = 0, atunci rang A = rang B = 2, ∆ p = = −1
1 1
este un minor principal pentru primul sistem, avˆand minorul caracteristic ∆ c =

a b 0
a b a 2

2 3 0 = = .
2 3 b 3
1 1 1
Subcazul 2.1. Dac˘a ∆ c 6= 0, atunci primul sistem este incompatibil, iar al
doilea sistem este compatibil determinat, deoarece rang B = rang B = 2.
a
Subcazul 2.2. Dac˘ ∆ c = 0, atunci primul sistem este compatibil simplu nede-
terminat, iar al doilea sistem este incompatibil, deoarece matricea subsistemului
ß
ax + 2y = 1
are rangul 1 iar matricea extins˘ a acestuia are rangul 2.
a
bx + 3y = 1
MGO 193. Fie (x n ) ⊂ (0, 1] un s , ir descresc˘ator, astfel ˆıncˆat pentru orice
n≥1
Å 1 1 ò
∗
n ∈ N ˆın intervalul , sunt exact n termeni ai s , irului (x n ) n≥1 .
n + 1 n
√
√ 2
Demonstrat ,i c˘a lim x n = 0 s , i lim n · x n = .
n→∞ n→∞ 2
Cristinel Mortici, Viforˆata

∗
a
a
Solut ,ie. Din ipotez˘a, rezult˘ us , or prin induct , ie c˘ pentru orice n ∈ N avem
Å ò
1 1
x i ∈ , i = 1 + 2 + . . . + (n − 1) + 1, 1 + 2 + . . . + (n − 1) + n.
n + 1 n
n(n + 1) 1 1
∗
Fie k n = 1 + 2 + . . . + n = , n ∈ N . Avem < x k n ≤ , pentru
2 n + 1 n
∗
n≥1
orice n ∈ N , deci x k n → 0 (Criteriul cles , telui). Cum s , irul (x n ) este convergent
a
) are limita 0, rezult˘ c˘ s , i x n → 0.
a
(fiind monoton s , i m˘arginit), iar subs , irul (x k n n≥1