Page 33 - RMGO 6

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 33

MGO 200. Fie a 1 , a 2 , . . . , a n numere reale pozitive, n ≥ 3, astfel ˆıncˆat
n
a i
X
= 2.
a i + 1
i=1
Demonstrat ,i c˘a

1 1 1 n(n − 2)
+ + . . . + + ≥ (n − 1)(n − 2).
a 1 a 2 a n a 1 + a 2 + . . . + a n
Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
n
a i x i P
Solut ,ie. Fie = x i ∈ (0, 1), deci a i = s , i x i = 2. Rescriem
a i + 1 1 − x i i=1
inegalitatea astfel:

1 1 1 n (n − 2)
−n+ + +. . .+ + ≥ (n − 1) (n − 2) , (1).
x 1 x 2 x n
x 1 x 2 x n + + . . . +
1 − x 1 1 − x 2 1 − x n
x
S˘a remarc˘am c˘a funct , ia x → : (0, 1) → (0, ∞) este bijectiv˘a s , i cresc˘atoare.
1 − x
Din simetrie, putem presupune c˘a 0 < a n ≤ a n−1 ≤ . . . ≤ a 2 ≤ a 1 , adic˘a
2
0 < x n ≤ x n−1 ≤ . . . ≤ x 2 ≤ x 1 . Not˘am s = .
n
n n
P P 2 2 2
Consider˘am ˆıntˆai c˘a x i ∈ (0, 2) cu x i = 2. Fie x = n s + (n − 1) t ,
i
i=1 i=1
cu t ∈ [0, s). Conform Teoremei variabilelor egale, Corolarul 1.4 (V. Cˆıırtoaje, The
equal variable method, Journal of Inequlities in Pure and Applied Mathematics,
vol. 8, iss. 1, art. 15, 2007; https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/
1
059_06_JIPAM/059_06_www.pdf#page=5), pentru funct , ia θ → pe (0, 2), suma
θ
1 1 1
+ + . . . + este minim˘ pentru x n = . . . = x 2 = s − t s , i x 1 = s + (n − 1) t.
a
x 1 x 2 x n
n − 1 1
Evident, funct , ia t → + , definit˘ pe [0, s), este strict cresc˘atoare.
a
s − t s + (n − 1) t
n n
P P 2 2 2 n − 2
As , adar, dac˘a x i ∈ (0, 1), x i = 2, x = n s + (n − 1) t s , i t ≥ ,
i
i=1 i=1 n (n − 1)
1 1 1 n − 1 1
atunci −n + + + . . . + ≥ −n + + ≥ (n − 1) (n − 2) .
x 1 x 2 x n s − t s + (n − 1) t
Deci (1) este demonstrat˘a.
n − 2
ï ã
Fie acum t ∈ 0, . Cum max x 1 = s + (n − 1) t < 1, atunci
n (n − 1)
2 n − 2 1
x i ∈ (0, 1) pentru orice i = 1, n. De asemenea, s − t > − = .
n n (n − 1) n − 1
θ
Conform teoremei amintite, pentru funct , ia θ → , definit˘a pe (0, 1), suma
1 − θ