Page 34 - RMGO 6

34 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

x 1 x 2 x n
+ + . . . + este maxim˘a pentru x n = . . . = x 2 = s − t
1 − x 1 1 − x 2 1 − x n
s , i x 1 = s + (n − 1) t. As , adar, pentru a ˆıncheia demonstrat , ia este suficient
s − t
s˘a consider˘am 0 < β = = a n = a n−1 = . . . = a 2 ≤ a 1 = γ =
1 − s + t
s + (n − 1) t 1 1 (n − 2) β
. Cum s − t > , atunci β > . Not˘am = x
1 − s − (n − 1) t n − 1 n − 2 2
(n − 2) γ 1 n − 1 1
s , i = y. Atunci < x ≤ y, + = 1 s , i r˘amˆane
2 2 2x + n − 2 2y + n − 2
n − 1 1 n (n − 2)
de demonstrat inegalitatea + + ≥ 2 (n − 1) , (2). Dar,
x y (n − 1) x + y
n − 2 − (n − 3) x Å 1 ò
ˆ
de mai sus, avem y = ≥ x, deci x ∈ , 1 . Inlocuim ˆın (2)
2x − 1 2
n − 2 − (n − 3) x
pe y cu s , i, ˆın urma calculelor, obt , inem imediat inegalitatea
2x − 1
2
2
(x − 1) (2x − 1) ≥ 0, fapt evident adev˘arat. Demonstrat , ia este ˆıncheiat˘a.
2
Remarc˘am c˘ egalitatea are loc atunci cˆand toate numerele sunt egale cu ,
a
n − 2
dar, prin fort , area limitei, s , i atunci cˆand un num˘ar tinde la ∞ s , i restul sunt egale
1
cu .
n − 2