Page 39 - RMGO 6

Asupra Problemei MGO 106 1

2
Costel ANGHEL s , i Florea BADEA 3

ˆ In num˘arul 1 din anul 2019 al revistei, elevul Alexandru Daniel Pˆırvuceanu din
a
Drobeta Turnu Severin a propus urm˘atoarea problem˘ la clasa a X-a (Problema
MGO 106 din RMGO, anul III, nr. 1, 2019):
a
Fie z, y, z ∈ (0, +∞) astfel ˆıncˆt x + y + z = xyz. Demonstrat ,i c˘a:
√
z y z 2 3 3
+ + ≤ . (∗)
1 + x 2 1 + y 2 1 + z 2 4
Cˆand are loc egalitatea?
Prezent˘am ˆıntˆai o solut , ie algebric˘a.
1 1 1
Solut ,ia 1. Deoarece x, y, z > 0, condit , ia din enunt , se rescrie: + + = 1.
xy yz zx
1 1 1
a
Cu notat , iile a = , b = , c = , problema se reformuleaz˘ astfel:
x y z
Dac˘ a, b, c ∈ (0, +∞) s , i ab + bc + ca = 1, atunci
a
√
a b c 3 3
+ + ≤ . (1)
1 + a 2 1 + b 2 1 + c 2 4
a a a
Avem = =
1 + a 2 ab + bc + ac + a 2 (a + b)(a + c)
b b c c
s , i analoagele: = , = .
1 + b 2 (b + a)(b + c) 1 + c 2 (c + a)(c + b)
Astfel (1) este echivalent˘a, succesiv, cu:
√
a b c 3 3
+ + ≤ ;
(a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) 4
√ √
a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) 3 3 2(ab + bc + ca) 3 3
≤ ; ≤ ;
(a + b)(b + c)(c + a) 4 (a + b)(b + c)(c + a) 4
√
8 3
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ . (2)
9
1
a
Acest articol a fost comunicat la Simpozionul Judet , ean de Matematic˘ ,,Marinescu-Ghemeci
Octavian”, Edit , ia a II-a, Potcoava, 7 mai 2022.
2
Profesor, S , coala Gimnazial˘a ,,Ion Popescu”, Negreni, anghelcostel2012@yahoo.com
3
Profesor, S , coala Gimnazial˘a ,,Nicolae Coculescu”, Scornices , ti
39