Page 41 - RMGO 6

Asupra Problemei MGO 106 41

Solut ,ia 2. Conform Lemei 1, luˆand x = tg A, y = tg B, z = tg C, cu A, B, C
m˘asurile unghiurilor unui triunghi, inegalitatea (∗) devine, succesiv:
√
tg A tg B tg C 3 3
+ + ≤ ;
2
2
2
1 + tg A 1 + tg B 1 + tg C 4
√
3 3
sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C ≤ ;
√ 4
3 3
sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ . (3)
2
Subsolut ,ia 2.1. Pe intervalul [0, π] funct , ia sinus este concav˘a, deci aplicˆand
Inegalitatea lui Jensen obt , inem
√
sin 2A + sin 2B + sin 2C 2A + 2B + 2C 2π 3
≤ sin = sin = ,
3 3 3 2
a
de unde rezult˘ (3).
Subsolut ,ia 2.2. Se demonstreaz˘ us , or c˘ ˆın orice triunghi avem identitatea
a
a
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.
Astfel inegalitatea (3) devine, succesiv:
√ √ √ √
3 3 4abc 3 3 4RS 3 3 pr 3 3
4 sin A sin B cos C ≤ ; ≤ ; ≤ ; ≤ ;
2 8R 3 2 2R 3 2 R 2 4
√
3 3 R
p ≤ · R · ,
2 2r
√
3 3
iar ultima inegalitate rezult˘a din Inegalitatea lui Mitrinovic p ≤ · R s , i
2
Inegalitatea lui Euler R ≥ 2r.
A B
Solut ,ia 3. Dac˘a ˆın inegalitatea (1) lu˘am, conform Lemei 2, a = tg , b = tg ,
2 √ 2
C tg A tg B tg C 3 3
2
2
2
c = tg atunci aceasta devine + + ≤ , sau,
2 1 + tg 2 A 1 + tg 2 B 1 + tg 2 C 4
2 2 2
echivalent: √
3 3
sin A + sin B + sin C ≤ . (4)
2
Subsolut ,ia 3.1. Aplicˆand Inegalitatea lui Jensen obt , inem
√
sin A + sin B + sin C A + B + C π 3
≤ sin = sin = ,
3 3 3 2
de unde rezult˘ (4).
a
p
Subsolut ,ia 3.2. Dac˘a t , inem seama c˘a sin A + sin B + sin C = , inegalitatea (4)
√ R
p 3 3
devine ≤ , adic˘ tocmai Inegalitatea lui Mitrinovic (de mai sus).
a
R 2