Page 45 - RMGO 6

Dezvolt˘ari ale unei inegalit˘ati din RMM nr.
,
11/2022

Marin CHIRCIU 1

Aceast˘a not˘a pornes , te de la inegalitatea cu mediane propus˘a ˆın Problema
3552 din revista Romanian Mathematical Magazine, de c˘atre Zaza Mzhavanadze,
Georgia:

In 4ABC the following relationship holds:
Å 5 ã 2 Ç 5 å 2 Å 5 ã 2 9 8
m a m b m c 3 · r
+ + ≥ .
m b + m c m c + m a m a + m b 4

Prezent˘am o inegalitate algebric˘a, ca rezultat ajut˘ator atˆat pentru rezolvarea
problemei de mai sus cˆat s , i a altor aplicat , ii din aceeas , i clas˘ de probleme.
a
Lema 1. Dac˘a x, y, z > 0 s , i k ∈ N, k ≥ 2, atunci
Ç å 2
X x k 1 ÄX ä k−1
≥ x 2 .
y + z 4 · 3 k−2

Demonstrat¸ie. Avem
Ç k å 2 2k 2k 2k
x x x 1 x
X X CS X X
= ≥ =
2
2
2
y + z (y + z) 2 2 (y + z ) 2 y + z 2
P 2 k P 2 k
H¨older 1 1 x 1 x
≥ · · P = · P
2
2
2 3 k−2 (y + z ) 2 · 3 k−2 2 x 2
1 ÄX ä k−1
= x 2 ,
4 · 3 k−2
cu egalitate pentru x = y = z.
Vom rezolva urm˘atoarea dezvoltare a problemei de mai sus.
ˆ
In 4ABC avem
Ç k å 2
X m a 3 Ä √ ä k−1 3 2 k−1

≥ S 3 ≥ 9r , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
m b + m c 4 4
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.chirciu@yahoo.com
45