Page 50 - RMGO 6

50 Marin CHIRCIU

A B C
Å ã
Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = cosec , cosec , cosec obt , inem:
2 2 2
Ç k A å 2 Å ã k−1
cosec Lema 1 1 A
X X
2 ≥ cosec 2
cosec B + cosec C 4 · 3 k−2 2
2 2
Ö è k−1
1 X 1
=
4 · 3 k−2 2 A
sin
2
Å 2 2 ã k−1
1 p + r − 8Rr
=
4 · 3 k−2 r 2
Gerretsen 1
≥ · 12 k−1 = 3 · 4 k−2 .
4 · 3 k−2
a
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
Observat ,ia 1. Identit˘at , ile invocate ˆın Aplicat ,iile 7-10 de mai sus se obt , in us , or
folosind relat , iile

A B C 4R + r
tg + tg + tg = ,
2 2 2 p
A B B C C A
tg tg + tg tg + tg tg = 1,
2 2 2 2 2 2
A B C r
tg tg tg = .
2 2 2 p

Bibliografie

[1] O. Bottema, R.Z. Djordjevic, R.R. Janic, D.S. Mitrinovic, P.M. Vasic, Geome-
tric Inequalities, Wolters-Noordhoff, Groningen, 1969.

[2] M. Chirciu, Inegalit˘at ,i algebrice, de la init ,iere la performant ,˘a, Editura Paralela
45, Pites , ti, 2021.
a
a
[3] M. Chirciu, Inegalit˘t ,i geometrice, de la init ,iere la performant ,˘, Editura Para-
lela 45, Pites , ti, 2021.
[4] Z. Mzhavanadze, Problema 3552, Romanian Mathematical Magazine, nr.
11/2022.