Page 48 - RMGO 6

48 Marin CHIRCIU

A B C
Å ã
Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = sin , sin , sin obt , inem:
2 2 2
Ç k A å 2 Å ã k−1
sin Lema 1 k−1
X 1 X A 1 r
2 ≥ sin 2 = 1 −
sin B + sin C 4 · 3 k−2 2 4 · 3 k−2 2R
2 2
3
Euler 1 Å ã k−1 3
≥ = .
4 · 3 k−2 4 4 k
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
a
ˆ
Aplicat , ia 6. In 4ABC avem
Ç k A å 2 Å ã k−1
cos
X 3 3r
2 ≥ , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
cos B + cos C 4 2R
2 2
Å ã
A B C
Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = cos , cos , cos obt , inem:
2 2 2
Ç k A å 2 Å ã k−1
cos Lema 1 k−1
X 1 X A 1 r
2 ≥ cos 2 = 2 +
cos B + cos C 4 · 3 k−2 2 4 · 3 k−2 2R
2 2
Å ã k−1 Å ã k−1
Euler 1 9r 3 3r
≥ = .
4 · 3 k−2 2R 4 2R
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
a
ˆ
Aplicat , ia 7. In 4ABC avem
Ç k A å 2
tg
X 1
2 ≥ , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
tg B + tg C 4 · 3 k−2
2 2
Å ã
A B C
Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = tg , tg , tg obt , inem:
2 2 2
Ç k A å 2 Å ã k−1
tg Lema 1
X 1 X A
2 ≥ tg 2
tg B + tg C 4 · 3 k−2 2
2 2
ñ 2 2 ô k−1
1 (4R + r) − 2p
=
4 · 3 k−2 p 2
Gerretsen 1 1
≥ · 1 k−1 = .
4 · 3 k−2 4 · 3 k−2
a
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a