Page 46 - RMGO 6

46 Marin CHIRCIU

Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = (m a , m b , m c ) obt , inem:

Ç å 2 Å ã k−1
2
2
X m k a Lema 1 1 ÄX ä k−1 1 X 2b + 2c − a 2
≥ m 2 a =
m b + m c 4 · 3 k−2 4 · 3 k−2 4
Å ã k−1
1 3 X 2 3 ÄX 2 ä k−1
= a = a
4 · 3 k−2 4 4 k
(W) 3 Ä √ ä k−1 3 Ä √ ä k−1
≥ 4S 3 = S 3 ,
4 k 4
√
2
2
2
unde (W) este Inegalitatea lui Weitzenb¨ock, a + b + c ≥ 4S 3.
√
a
A doua inegalitate din enunt , rezult˘ imediat utilizˆand inegalitatea S ≥ 3r 2 3,
adev˘arat˘ deoarece, folosind Inegalitatea mediilor, avem
a
p S
» 2 2
S = p(p − a)(p − b)(p − c) ≤ √ = √ .
3 3 3r 2 3
a
Egalit˘at , ile au loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
Remarc˘am c˘a pentru k = 5 se obt , ine rezolvarea Problemei 3552. Din nou,
a
egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
ˆ In continuare sunt propuse cˆateva aplicat , ii care se ˆıncadreaz˘ ˆın aceeas , i clas˘
a
a
de probleme.
ˆ
Aplicat , ia 1. In 4ABC avem
Ç k å 2
X h a 3 2 k−1

≥ 9r , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
h b + h c 4

Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = (h a , h b , h c ) obt , inem:

Ç k å 2
X h a Lema 1 1 ÄX 2 ä k−1 (1) 1 2 k−1 3 2 k−1

≥ h a ≥ 27r = 9r ,
h b + h c 4 · 3 k−2 4 · 3 k−2 4
P 1 P 1
2
2
2 2
2
2
unde (1) ⇔ h ≥ 27r ⇔ 4S 2 ≥ 27r ⇔ 4p r ≥ 27r , adev˘arat˘a
P
a
a 2 a 2
deoarece, folosind Inegalitatea mediilor, avem
X 1 2 Å 1 1 1 ã Ä √ ä 2 3
2
3
4p = (a + b + c) + + ≥ 3 abc · √ = 27.
a 2 a 2 b 2 c 2 3 a b c
2 2 2
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
a