Page 42 - RMGO 6

42 Costel ANGHEL s , i Florea BADEA

Observat ,ia 1. De multe ori, folosirea direct˘a a condit , iilor din exemple precum
a
a
problema rezolvat˘ de mai sus este dificil˘ s , i astfel este de preferat transformarea
inegalit˘at , ilor algebrice ˆın unele tingononetrice.
Prezent˘am ˆın continuare ˆınc˘ dou˘ exemple ˆın acest sens.
a
a
ˆ In Revista de Matematic˘a din Valea Jiului, profesonul Gheorghe Stoica din
a
Petros , ani a propus urm˘atoarea problem˘ (Problema O.C.G. 434):
Fie a, b, c > 0 astfel ˆıncˆt ab + bc + ca = 1 s , i fie x > 0. Ar˘atat ,i c˘a:
a
a b c 3
+ + ≤ .
2
2
2
2
2
2
x + a + 1 x + b + 1 x + c + 1 4x
A B C
Solut ,ie. Conform Lemei 2, fie a = tg , b = tg , c = tg . Inegalitatea devine:
2 2 2
tg A tg B tg C 3
2 + 2 + 2 ≤ .
2
2
2
x + tg 2 A + 1 x + tg 2 B + 1 x + tg 2 C + 1 4x
2 2 2
tg A tg A sin A cos A sin A cos A sin A
Dar 2 = 2 = 2 2 ≤ 2 2 = 2 s , i
2
2
2
x + tg 2 A + 1 x + 1 x cos 2 A + 1 2x cos A 2x
2 cos 2 A 2 2
2
tg B sin B tg C sin C
analoagele 2 ≤ 2 , 2 ≤ 2 .
2
2
x + tg 2 B + 1 2x x + tg 2 C + 1 2x
2 2
ˆ Insumate, acestea ne dau:
tg A tg B tg C sin A + sin B + sin C
2 + 2 + 2 ≤ 2 2 2 .
2
2
2
x + tg 2 A + 1 x + tg 2 B + 1 x + tg 2 C + 1 2x
2 2 2
sin A + sin B + sin C 3
Astfel este suficient s˘ demonstr˘am c˘ 2 2 2 ≤ , adic˘
a
a
a
2x 4x
A B C 3
sin + sin + sin ≤ . (5)
2 2 2 2
a
Aceasta rezult˘ imediat din Inegalitatea lui Jensen:
A B C A + B + C π 3
sin + sin + sin ≤ 3 sin = 3 sin = .
2 2 2 6 6 2
a
Pentru o solut , ie elementar˘ a inegalit˘at , ii (5) vom demonstra:
3
Lema 3. Dac˘a x, y, z ∈ R s , i x + y + z = π, atunci cos x + cos y + cos z ≤ .
2