Page 47 - RMGO 6

Dezvolt˘ari ale unei inegalit˘at , i din RMM nr. 11/2022 47

ˆ
Aplicat , ia 2. In 4ABC avem
Ç k å 2
X l a 3 2 k−1

≥ 9r , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
l b + l c 4
Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = (l a , l b , l c ) obt , inem:

Ç k å 2
X l a Lema 1 1 ÄX ä k−1 1 ÄX 2 ä k−1 (1) 3 2 k−1
2

≥ l a ≥ h a ≥ 9r .
l b + l c 4 · 3 k−2 4 · 3 k−2 4
a
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
ˆ
Aplicat , ia 3. In 4ABC avem
Ç k å 2
s 3
X a ≥ 9r 2 k−1 , ∀k ∈ N, k ≥ 2

s b + s c 4
(unde s a , s b , s c sunt lungimile simedianelor).

Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = (s a , s b , s c ) obt , inem:

Ç k å 2
X s Lema 1 1 ÄX ä k−1 1 ÄX ä k−1 (1) 3
a 2 2 2 k−1

≥ s a ≥ h a ≥ 9r .
s b + s c 4 · 3 k−2 4 · 3 k−2 4
a
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
ˆ
Aplicat , ia 4. In 4ABC avem
Ç k å 2 Å 2 ã k−1
X r a 3 9R 3 2 k−1

≥ ≥ 9r , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
r b + r c 4 4 4
Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = (r a , r b , r c ) obt , inem:
Ç k å 2 Å 2 ã k−1
X r a Lema 1 1 ÄX r 2 ä k−1 (T) 1 27R
≥
≥
r b + r c 4 · 3 k−2 a 4 · 3 k−2 4
3 Å 9R 2 ã k−1 Euler 3 2 k−1

= ≥ 9r ,
4 4 4
27R 2
2
2
2
unde (T) este Inegalitatea lui Thebault, r + r + r ≥ .
c
a
b
4
a
a
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
ˆ
Aplicat , ia 5. In 4ABC avem
Ç k A å 2
X sin 3
2 ≥ , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
sin B + sin C 4 k
2 2