Page 43 - RMGO 6

Asupra Problemei MGO 106 43

Demonstrat¸ie. Inegalitatea dat˘ devine, succesiv:
a
x + y x − y z 3
2 cos cos + 1 − 2 sin 2 − ≤ 0;
2 2 2 2
π z x − y z 1

2 cos − cos − 2 sin 2 − ≤ 0;
2 2 2 2 2
z z x − y 1
2 sin 2 − 2 sin cos + ≥ 0;
2 2 2 2
z z x − y 1 x − y x − y
sin 2 − sin cos + cos 2 + sin 2 ≥ 0;
2 2 2 4 2 2
z 1 x − y 1 2 x − y
Å ã 2
sin − cos + sin ≥ 0,
2 2 2 4 2
adev˘arat.
π A π B π C
Aplicˆand acum Lema 3 pentru x = − , y = − , z = − (care
2 2 2 2 2 2
a
verific˘ x + y + z = π), se obt , ine inegalitatea (5).
Un alt exemplu este urm˘atoarea problem˘ ap˘arut˘ ˆın Revista de Matematic˘
a
a
a
din Timis , oara (Problema O.IX.219 din RMT nr. 2/2011):
Fie x, y, z ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat xy + yz + zx = 1. Demonstrat ,i c˘a:
√
10 3
≤ x + y + z + xyz < 2.
9
a
a
Solut ,ie. Dac˘ x, y, z ∈ (0, 1), atunci (x − 1)(y − 1)(z − 1) < 0, adic˘ xyz − (xy +
yz + zx)+ +x + y + z − 1 < 0, deci xyz + x + y + z < 2, adic˘a inegalitatea din
dreapta.
A B
Pentru inegalitatea din stˆanga, conform Lemei 2 avem x = tg , y = tg ,
2 √ 2
C A B C A B C 10 3
z = tg s , i inegalitatea devine: tg + tg + tg + tg tg tg ≥ .
2 2 2 2 2 2 2 9
Dar

A B C (p − b)(p − c) (p − c)(p − a) (p − a)(p − b)
tg + tg + tg = + +
2 2 2 p(p − a) p(p − b) p(p − c)
(p − b)(p − c) + (p − c)(p − a) + (p − a)(p − b)
=
S
2
3p − 2p(a + b + c) + ab + bc + ca
=
S
2
2
2
−p + p + r + 4Rr r + 4R
= =
pr p
s , i
A B C (p − a)(p − b)(p − c) S 2 S pr r
tg tg tg = = = = = .
2
2 2 2 pS p S p 2 p 2 p