Page 44 - RMGO 6

44 Costel ANGHEL s , i Florea BADEA

Astfel avem de demonstrat urm˘atoarea inegalitate
√ √
2r + 4R 10 3 3 3
≥ , adic˘ p ≤ (r + 2R).
a
p 9 5
2
2
2
a
Dar, conform Inegalit˘t ,ii lui Gerretsen. p ≤ 4R + 4Rr + 3r , deci este suficient
s˘ demonstr˘am c˘a:
a
27
2
2
2
4R + 4Rr + 3r ≤ (r + 2R) .
25
Aceasta devine, succesiv:
2
2
25 4R + 4Rr + 3r 2 ≤ 27 r + 4Rr + 4R 2 ;
2
2
2
2
2
2
100R + 100Rr + 75r ≤ 108R + 108Rr + 27r ; 8R + 8Rr − 48r ≥ 0;
2
2
R + Rr − 6r ≥ 0; (R − 2r)(R + 3r) ≥ 0,
adev˘arat.
ˆ
a
Observat ,ia 2. In demonstrat , ia anterioar˘ am folosit identitatea
2
2
ab + bc + ca = p + r + 4Rr.
Aceasta se poate deduce ˆın felul urm˘ator:
S 2 3 2
= (p − a)(p − b)(p − c) = p − p (a + b + c) + p(ab + bc + ac) − abc
p
3
3
= −p + p(ab + bc + ca) − 4RS = −p + p(ab + bc + ca) − 4Rrp, deci
2 2
p r 2
= p −p + ab + bc + ca − 4Rr , deci
p
2
2
2
2
r = −p + ab + bc + ca − 4Rr s , i astfel ab + bc + ca = p + r + 4Rr.
Bibliografie
[1] Colect , ia Revistei de Matematic˘a ,,Marinescu Ghemeci Octavian”, http://
rmgo.upit.ro/.
[2] D. Sachelarie, Geometria triunghiului, Editura Matrix Rom, Bucures , ti, 2000.
[3] Colect , ia Revistei de Matematic˘ din Timis , oara - RMT.
a
a
[4] Colect , ia Revistei de Matematic˘ din Valea Jiului.