Page 49 - RMGO 6

Dezvolt˘ari ale unei inegalit˘at , i din RMM nr. 11/2022 49

ˆ
Aplicat , ia 8. In 4ABC avem

Ç k A å 2
X ctg 3 k
2 ≥ , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
ctg B + ctg C 4
2 2
A B C
Å ã
Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = ctg , ctg , ctg obt , inem:
2 2 2
Ç k A å 2 Å ã k−1
X ctg Lema 1 1 X A
2 ≥ ctg 2
ctg B + ctg C 4 · 3 k−2 2
2 2
2
2
1 Å p − 2r − 8Rr ã k−1
=
4 · 3 k−2 r 2
Gerretsen 1 k−1 3 k
≥ · 9 = .
4 · 3 k−2 4
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
a
ˆ
Aplicat , ia 9. In 4ABC avem
Ç k A å 2 Å ã k−2
sec
X 4
2 ≥ , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
sec B + sec C 3
2 2
Å ã
A B C
Solut ,ie. Folosind Lema 1 pentru (x, y, z) = sec , sec , sec obt , inem:
2 2 2
Ç k A å 2 Å ã k−1
sec Lema 1
X 1 X A
2 ≥ sec 2
sec B + sec C 4 · 3 k−2 2
2 2
Ç å k−1
1 X 1
=
4 · 3 k−2 cos 2 A
2
ñ 2 ô k−1
2
1 p + (4R + r)
=
4 · 3 k−2 p 2
4
Gerretsen 1 k−1 Å ã k−2
≥ · 4 = .
4 · 3 k−2 3
Egalitatea are loc dac˘ s , i numai dac˘ triunghiul este echilateral.
a
a
ˆ
Aplicat , ia 10. In 4ABC avem
Ç k A å 2
X cosec
2 ≥ 3 · 4 k−2 , ∀k ∈ N, k ≥ 2.
cosec B + cosec C
2 2