Page 32 - RMGO 6

32 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

∗
∗
Solut ,ie. Pentru n ∈ N arbitrar fixat, not˘am cu I m integrala din enunt , , m ∈ N .
Pentru orice m ≥ 2 avem
n
1 Z x + a − x n 1 Z 1 1 Z x n−1
I m = m dx = dx − m dx
n
n
a x (x + a) a x (x + a) m−1 a (x + a)
n
n
1 1 Z (x + a) 0 1 1
= · I m−1 − m dx = · I m−1 + .
n
a na (x + a) a na(m − 1) (x + a) m−1
n
a
Astfel, folosind succesiv aceast˘ relat , ie de recurent , ˘ pentru m, m − 1, . . ., 2, avem
a
1 1
I m = · I m−1 + ,
a na(m − 1) (x + a) m−1
n
1 1 1
· I m−1 = · I m−2 + ,
a a 2 na (m − 2) (x + a) m−2
n
2
1 1 1
· I m−2 = · I m−3 + ,
a 2 a 3 na (m − 3) (x + a) m−3
n
3
. . . ,
1 1 1
· I 2 = · I 1 + .
n
a m−2 a m−1 na m−1 (x + a)
m−1
1 1 P 1
Prin adunare rezult˘a c˘a I m = · I 1 + , unde
k
n
a m−1 n k=1 (m − k)a (x + a) m−k
Z ÅZ Z n−1 ã n
1 1 1 x ln x ln(x + a)
I 1 = dx = dx − dx = − + C.
n
n
x (x + a) a x x + a a na
MGO 199. Fie f : [0, 1] → R o funct ,ie continu˘a al c˘arei grafic admite drept
1
Å ã
centru de simetrie punctul S , 0 s , i fie n s , i k dou˘a numere naturale impare,
2
k ≥ 3. Calculat ,i integrala
Z
1 »
k n
f (x) dx.
0
Marin Chirciu, Pites , ti
Å ã
1
Solut ,ie. Punctul S , 0 fiind centru de simetrie pentru graficul funct , iei f, avem
2
f(x) + f(1 − x) = 0, pentru orice x ∈ [0, 1]. Aplicˆand schimbarea de variabil˘a
x = 1 − t obt , inem
Z Z Z
1 » 0 » 1 » n
n
n
I = k f (x) dx = k f (1 − t) · (−1) dt = k (−f(t)) dt
0 1 0
Z
1 »
n
= − k f (t) dt = −I,
0
prin urmare I = 0.