Page 26 - RMGO 6

26 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

MGO 189. Se consider˘ ecuat ,ia
a
3x 3x 2 3x 4 1
x − − − = .
2
2
4
3
x + 3 x + 3x + 9 x + 3x + 18x + 54x + 81 602
a) Rezolvat ,i ecuat ,ia ˆın mult ,imea numerelor reale.
a
b) Determinat ,i o solut ,ie complex˘ nereal˘a a ecuat ,iei date.
Mih´aly Bencze, Bras , ov
3x x 2
Solut ,ie. Condit , ia de existent , ˘a: x 6= 3. Notˆand x − = t avem t = ,
x + 3 x + 3
3x 2 3t 3x 4 3t 2
= s , i = , deci ecuat , ia
3
2
4
2
2
x + 3x + 9 t + 3 x + 3x + 18x + 54x + 81 t + 3t + 9
3t 3t 2 1
a
dat˘ devine t − − = .
2
t + 3 t + 3t + 9 602
3t t 2 3t 2 3u
Notˆand acum t − = u avem u = s , i = , deci
2
t + 3 t + 3 t + 3t + 9 u + 3
3u 1 1
2
ecuat , ia devine u − = , adic˘a 602u − u − 3 = 0, avˆand solut , iile u 1 =
u + 3 602 14
3 1 1
2
s , i u 2 = − . Pentru u 1 = rezult˘a c˘a 14t − t − 3 = 0, cu solut , iile t 1 = s , i
43 14 2
3 3
2
t 2 = − , iar pentru u 2 = − rezult˘a c˘a 43t + 3t + 9 = 0, cu ∆ < 0. Pentru
7 43
1 3
2
t 1 = rezult˘a c˘a 2x − x − 3 = 0, cu solut , iile x 1 = −1 s , i x 2 = , iar pentru
2 √ 2
3 3(−1 ± 3i 3)
2
t 2 = − rezult˘ c˘ 7x + 3x + 9 = 0, cu solut , iile x 3,4 = .
a
a
7 14
3
Astfel ˆın R ecuat , ia are solut , iile −1 s , i , iar o solut , ie complex˘a nereal˘a a
√ 2
3(−1 + 3i 3)
ecuat , iei este, de exemplu, .
14
MGO 190. Fie ABC un triunghi dreptunghic ˆın A. Determinat ,i valorile naturale
ale tangentei unghiului B pentru care m a , l a s , i h a pot fi lungimile laturilor unui
triunghi.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
√
√ a c n + 1
2
∗
2
Solut ,ie. Fie tg B = n ∈ N . Avem b = cn, a = c n + 1, m a = = ,
√ 2 2
2bc A cn 2 bc cn
l a = cos = s , i h a = = √ .
b + c 2 n + 1 a n + 1
2
Evident, h a ≤ l a ≤ m a , deci m a , l a s , i h a pot fi lungimile laturilor unui triunghi
√ √
2
n n 2 n + 1
dac˘ s , i numai dac˘ h a + l a > m a , adic˘ √ + > .
a
a
a
2
n + 1 n + 1 2