Page 25 - RMGO 6

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 25

x = s + t s , i y = s − 2t. Deci pentru u = v = s + t = x s , i w = s − 2t = y obt , inem
s
alternativa (∗) de mai sus. Fie acum ≤ t < s. Pentru w = 0, rezolvˆand sistemul
2

 u + v = 3s 3s + p 3 (4t − s ) 3s − p 3 (4t − s )
2
2
2
2
2
uv = 3 s − t 2 obt , inem u = s , i v = ,
2 2
u ≥ v > 0

deci are loc alternativa (∗∗).
Conform Teoremei de minim a produsului, pentru u + v + w s , i uv + vw + wu
fixate, uvw este minim fie pentru u = v ≥ w > 0, fie pentru w = 0.
Cazul 1. Presupunem c˘ exist˘ ˆın mod unic 0 < y ≤ x astfel ˆıncˆat 2x+y = p s , i
a
a
2
2
2
x + 2xy = q. Atunci x y ≤ uvw, deci implicit x y ≤ abc (pentru c˘ a, b s , i c sunt
a

2
2
a
printre u, v, w). Deci s , tim c˘ x y ≤ 2x + y + 2, adic˘ y x − 1 ≤ 2 (x + 1) , (1),
a
2
2
2
2
a
s , i ar˘at˘am c˘ y + 2x + 12 ≥ 2x + 4xy, adic˘ y + 12 ≥ 4xy, (2).
a
2
2
Dac˘a x ≤ 1, atunci evident y + 12 > 12 > 4 ≥ 4x ≥ 4xy. Dac˘a x > 1,
2
atunci (1) este echivalent˘a cu y ≤ . Cum, de mai sus, y ≤ x, deducem c˘a
x − 1

2
2 , dac˘ x ≥ 2
ß ™ 
a
y ≤ min x, = x − 1 . Evident, indiferent de pozit , ia lui
x − 1  x, dac˘ 1 < x < 2
a
2
x, funct , ia p˘atratic˘a (de y) y + 12 − 4xy este descresc˘atoare pe domeniul s˘au de
2
definit , ie. Astfel pentru x ≥ 2 este suficient s˘a ˆınlocuim ˆın (2) pe y cu s , i
x − 1
2
obt , inem (x − 2) ≥ 0, adev˘arat, iar pentru 1 < x < 2 este suficient s˘ ˆınlocuim ˆın
a
(2) pe y cu x s , i obt , inem x < 2, adev˘arat.
2
2
Cazul 2. Dac˘a w = 0, atunci inegalitatea devine u + v + 12 ≥ 2uv, evident
adev˘arat.
Demonstrat , ia pentru k = 1 este complet˘a. Egalitatea are loc pentru a = b =
c = 2.
2
2
2
Pentru k = 0 obt , inem a + b + c ≥ ab + bc + ca, evident adev˘arat.
2
2
2
Fie acum k ∈ (0, 1). Avem a + b + c + 12 ≥ 2 (ab + bc + ca), deci
2
2
k a + b + c 2 + 12k − 2k (ab + bc + ca) ≥ 0, (3).
2
2
2
Ar˘at˘am c˘ a + b + c + 12k − (k + 1) (ab + bc + ca) ≥ 0, (4).
a
h
2
2
2
2
ˆ Intr-adev˘ar, a + b + c + 12k − (k + 1) (ab + bc + ca) − k a + b + c 2 +
2
i
2
2
2
12k − 2k (ab + bc + ca) = (1 − k) a + b + c − ab − bc − ca ≥ 0.
Cum (3) este adev˘arat˘a, deducem c˘ s , i (4) este adev˘arat˘a.
a
ˆ In concluzie, inegalitatea cerut˘ este ˆıntotdeauna adev˘arat˘ dac˘ s , i numai dac˘
a
a
a
a
k ∈ [0, 1].