Page 62 - RMGO 6

62 Mihai Florea DUMITRESCU

Testul 3

SUBIECTUL I (30 de puncte)

a
1. Aflat¸i rat¸ia progresiei aritmetice (a n ), s , tiind cˇ a 7 − a 3 = −20.
2
2. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = x − mx + 7, unde m ∈ R. S˘a se afle
numerele reale m, astfel ˆıncˆat graficul funct , iei f este tangent la graficul
funct , iei g : R → R, g(x) = x − 2.
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log (x + 1) − 2 log 3 = 1.
2
2
4. Determinat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar n din mult , imea numerelor
naturale de dou˘ cifre, sˇ avem log n ≤ 6.
a
a
2
ˆ
5. Intr-un sistem cartezian de axe xOy se consider˘ punctele A(5, 4) s , i B(−1, 8).
a
Determinat , i ecuat , ia mediatoarei segmentului [AB].
π π
h i
6. Aflat¸i x ∈ − , astfel ˆıncˆat sin x = − cos x.
2 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Å ã
x y
1. Fie matricea A(x, y) = , x, y ∈ R.
−y x
a) Calculat , i det A(3, 4).
2
b) Scriet¸i det(A(2022, 2023)) ca sum˘ de dou˘ p˘atrate perfecte.
a
a
4
c) Pentru numerele ˆıntregi x ¸si y scriet¸i det[A(x, y)] ca sum˘a de dou˘a
p˘atrate perfecte,
a
2. Pe mult , imea M = [2, +∞) se consider˘ legea de compozit , ie
p
2
2
2 2
x ∗ y = x y − 4x − 4y + 20.
√ √
a
a) Ar˘atat¸i c˘ 6 ∗ 10 = 4
b) Aflat¸i elementul neutru al legii ,,∗”.
√
c) Rezolvat , i ˆın mult , imea M ecuat , ia x ∗ x = 13x.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

3
2
2
x
a
1. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = x · e 3 .
0
a) Calculati f (x), pentru x ∈ R..