Page 66 - RMGO 6

˘
˘
66 Costel BALCAU
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘ punctele A(1, 3) s , i B(5, 1). Determinat , i
a
coordonatele punctului de intersect , ie dintre mediatoarea segmentului AB s , i
axa Ox.
√
◦
6. Se consider˘a triunghiul ABC cu m(^A) = 60 s , i BC = AB 3. Calculat , i
m˘asura unghiului B.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Ñ é
k 0 k
1. Se consider˘ matricea A = 1 k − 2 1 , unde k ∈ Z.
a
k 0 2k

2
a) Pentru k = 1, calculat , i det(3A ).
b) Determinat , i k ∈ Z pentru care rang A = 2.
a
c) Determinat , i k ∈ Z pentru care A este inversabil˘ s , i A −1 ∈ M 3 (Z).
2
4
3
2. Se consider˘a polinomul f = X + (m − 2)X − (m + 2)X − 4mX − 2m,
unde m ∈ R.
√
a
a) Ar˘atat , i c˘ f(1 + 3) = 0, pentru orice m ∈ R.
a
b) Demonstrat , i c˘ (x 1 +1)(x 2 +1)(x 3 +1)(x 4 +1) ∈ N, pentru orice m ∈ R,
unde x 1 , x 2 , x 3 s , i x 4 sunt r˘ad˘acinile polinomului f.
c) Determinat , i m ∈ Z pentru care polinomul f are patru r˘ad˘acini reale
distincte.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
√
2
1. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = x + 2x + 2 − x.
a
f(x) − 2
a) Calculat , i lim .
x→−1 x + 1
b) Determinat , i ecuat , ia asimptotei spre −∞ la graficul funct , iei f.
c) Determinat , i m ∈ R pentru care ecuat , ia f(x) = m nu are solut , ii reale.

e
Z
n
a
2. Se consider˘ s , irul (I n ) n≥1 definit prin I n = ln x dx.
1
e
a) Calculat , i I 1 .
2
e + 1
b) Ar˘atat , i c˘ I 2023 + 2023I 2022 = .
a
e
a
c) Demonstrat , i c˘ s , irul (I n ) n≥1 este convergent.