Page 68 - RMGO 6

˘
˘
68 Costel BALCAU
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

2
2
2
1. Fie funct , ia f : R \ {−1} → R, f(x) = 1 + 2x − 3x + (x − 1) ln(x + 2x + 1).
2
0
a) Ar˘atat , i c˘ f (1) = 4 ln .
a
e
b) Determinat , i intervalele de monotonie a funct , iei f.
c) Demonstrat , i c˘ sin f(x) ≤ f(x) ≤ f(sin x), pentru orice x ∈ [0, 1].
a
√
4
a
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = x + 9.
a) Calculat , i volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a
graficului funct , iei g : [0, 1] → R, g(x) = f(x).
2 x − x 2 x − x
3
3
Z Z Å ã 2023
b) Ar˘atat , i c˘ dx > dx.
a
0 f(x) −2 f(x)
c) Demonstrat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f are exact un punct de
inflexiune.