Page 67 - RMGO 6

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea matematic˘a-informatic˘ a 67

Testul 3

SUBIECTUL I (30 de puncte)

√ √ √ √
1. Determinat , i a ∈ R pentru care numerele 2 7 − 3 3, a s , i 2 7 + 3 3 sunt
termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

∗
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = ax + 2x + 3, unde a ∈ R .
∗
Determinat , i a ∈ R , s , tiind c˘ f(3 + x) = f(3 − x) pentru orice x ∈ R.
a
x
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale inecuat , ia 2 x+1 ≤ 4,5 · 3 .
4. Se consider˘a mult , imile A = {0, 1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} s , i F = {f | f : A → B}.
Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand o funct , ie f din mult , imea F, aceasta s˘
a
verifice inegalitatea f(n) > n pentru orice n ∈ A.
ˆ
5. In paralelogramul ABCD punctele M, N, P s , i Q sunt mijloacele laturilor AB,
BC, CD, respectiv DA. Determinat , i k ∈ R pentru care are loc egalitatea
−−→ −−→ −→ −→ −→
AM + AN + AP + AQ = kAC.

6. Se consider˘a triunghiul ABC cu AB = 13, BC = 14 s , i CA = 15. Fie
a
D ∈ (BC) astfel ˆıncˆat AD ⊥ BC. Ar˘atat , i c˘ AD = AB + BC − CA.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Ñ é
2a − 2 a a
1. Pentru orice a, b, c ∈ R, fie matricea A(a) = 1 1 −3 s , i
2a − 1 a + 1 2a

 (2a − 2)x + ay + az = 2
sistemul de ecuat , ii x + y − 3z = b .
(2a − 1)x + (a + 1)y + 2az = c


a) Ar˘atat , i c˘ det A(2) = 0.
a
b) Determinat , i a, b, c ∈ R, s , tiind c˘a tripletul (1, −1, 0) este solut , ie a
sistemului.
c) Determinat , i b, c ∈ R pentru care sistemul este compatibil pentru orice
a ∈ R.

2
3
2. Se consider˘ polinomul f = 2X + aX − aX + 20, unde a ∈ R.
a
a) Ar˘atat , i c˘ f(1) = 22, pentru orice a ∈ R.
a
b) Determinat , i a ∈ R pentru care cˆatul ˆımp˘art , irii polinomului f la polino-
2
mul g = (X + 1) este egal cu 2X.
c) Demonstrat , i c˘a, pentru orice a ∈ R, polinomul f nu are are toate
r˘ad˘acinile numere ˆıntregi.