Page 61 - RMGO 6

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea s , tiint , e ale naturii 61

π 2 π

a
6. Calculat , i cos 2x + , s , tiind c˘ sin x = , x ∈ 0, .
3 3 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Å ã
2023 17
1. Se consider˘a matricele A = ¸si X(x) = I 2 + x · A, unde x este
119 1
Å ã
1 0
un num˘ar real, iar I 2 = .
0 1
a) Calculati det A.
b) Ar˘atat , i c˘a X(x) · X(y) = X(x + y + 2024xy), pentru orice numere reale
x s , i y.
2
c) Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia (X(x)) = X(0).
3
2
2. Se consider˘a polinomul f = X + 4X − 2X + a, unde a ∈ Z, cu r˘ad˘acinile
x 1 , x 2 , x 3 .
a) Pentru a = −8, aflat¸i restul ˆımp˘art¸irii polinomului f la polinomul
√
X − 2.
b) Pentru a = −8, determinat¸i r˘ad˘acinile polinomului f.
c) Calculat¸i num˘arul ˆıntreg a din egalitatea

Å ã Å ã Å ã
x 2 + x 3 x 1 + x 3 x 1 + x 2
+ 1 + 1 + 1 = a.
x 1 x 2 x 3
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

2
a
1. Se consider˘ funct , ia f : (0, +∞) → R, f(x) = x ln x + 1.
0
a
a) Ar˘atat , i c˘ f (x) = x(2 ln x + 1), ∀x ∈ (0, +∞).
b) Demonstrat , i c˘ graficul funct , iei f nu admite asimptot˘ vertical˘a.
a
a
√
c) Ar˘atat , i c˘ e e · x(2 ln x + 1) + 2 ≥ 0, ∀x ∈ (0, +∞).
a
2
x + 1
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = √ .
a
x
R 2 √
a) Calculat , i f(x) x dx.
1
R 2
b) Calculat , i f(x) dx.
1
c) Determinat¸i volumul corpului obt , inut prin rotirea ˆın jurul axei Ox a
graficului functiei g : [2, 3] → R, g(x) = f(x).