Page 9 - RMGO 5

Probleme propuse 9

Clasa a XI-a

 
2 −1 0 0
 2 5 0 0 
a
MGO 191. Se consider˘ matricea A =   .
0 0 3 −2
 
0 0 1 6
n
∗
Calculat , i A , n ∈ N .
* * *
a
MGO 192. Ar˘atat , i c˘ pentru orice a, b, c ∈ C, exact unul dintre sistemele
 
 ax + by + cz = 0  ax + 2y = 1
 
2x + 3y + 4z = 0 bx + 3y = 1
 
s , i
 x + y + z = 1  cx + 4y = 1
 
 
x, y, z ∈ C x, y ∈ C
este compatibil.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
MGO 193. Fie (x n ) ⊂ (0, 1] un s , ir descresc˘ator, astfel ˆıncˆat pentru orice
n≥1

1 1
∗
n ∈ N ˆın intervalul , sunt exact n termeni ai s , irului (x n ) n≥1 .
n + 1 n
√
√ 2
Demonstrat , i c˘ lim x n = 0 s , i lim n · x n = .
a
n→∞ n→∞ 2
Cristinel Mortici, Viforˆata
∗
MGO 194. Fie n ∈ N , λ > 0 s , i a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R. Demonstrat , i c˘
a
n n
X X
a k
nλ + a k e a k ≥ (1 + ln λ) e .
k=1 k=1
Mih´aly Bencze, Bras , ov
MGO 195. Fie a 1 , a 2 , . . . , a n numere reale nenegative astfel ˆıncˆat
a 1 + a 2 + . . . + a n = n.

a
Demonstrat , i c˘
n 1
2
2
2
X
2
2
n(n − n + 1) ≤ a + a + . . . + a + n (n − 1).
1
2
n
a i + n − 1
i=1
Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin