Page 6 - RMGO 5

6 Probleme propuse

Clasa a VIII-a

2
2
a
a
MGO 176. Fie a, b, x, y, z ∈ Z. Ar˘atat , i c˘ dac˘ unul dintre numerele ax +by −z 2
2
2
2
s , i bx + ay − z este divizibil cu a + b, atunci s , i num˘arul
2 2
2
2 2 2
ab(x + y ) + (a − b) x y + z 4
este divizibil cu a + b.
Mih´aly Bencze, Bras , ov
MGO 177. Determinat , i cea mai mic˘ valoare x ∈ R pentru care inegalitatea
a
√ √
2
t + 4t t ≥ 6t + 20 t − 4x
are loc pentru orice t ∈ N.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
∗
MGO 178. Fie numerele reale a 1 , a 2 , . . . , a n s , i b 1 , b 2 , . . . , b n , n ∈ N , astfel ˆıncˆat
a 1 + a 2 + . . . + a n = 7, b 1 + b 2 + . . . + b n = 5

a
s , i a k + b k > 0 pentru orice k ∈ {1, 2, . . . , n}. Demonstrat , i c˘
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
+ + . . . + < 3.
a 1 + b 1 a 2 + b 2 a n + b n
Dorin M˘arghidanu, Corabia

MGO 179. Fie a, b s , i c trei numere naturale ce reprezint˘a lungimile laturilor
unui triunghi neisoscel. Demonstrat , i c˘a:

a) pentru orice k ∈ [0, 1] avem
3
3
3
3
3
(a + kb) + (b + kc) + (c + ka) ≤ (k + 1) (a + b + c) − 3(5 + 6k)(6 + 7k)(7 + 5k);
b) pentru orice k ∈ [1, +∞) avem
3
3
3
3
3
(a + kb) + (b + kc) + (c + ka) ≤ (k + 1) (a + b + c) − 3(5k + 6)(6k + 7)(7k + 5).
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
MGO 180. Fie V ABCD o piramid˘a regulat˘a de muchie lateral˘a V A = a, a fiind
un num˘ar real pozitiv fixat. S , tiind c˘ volumul piramidei este maxim, determinat , i:
a
a) aria bazei;
b) m˘asura unghiului diedru dintre planele (V AB) s , i (V CD).
* * *