Page 7 - RMGO 5

Probleme propuse 7

Clasa a IX-a

a
MGO 181. Ar˘atat , i c˘ pentru orice a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = 3 avem
4a + 1 4b + 1 4c + 1
+ + ≤ 1.
2
2
2
7a + 4a + 4 7b + 4b + 4 7c + 4c + 4
Ardak Mirzakhmedov, Kazahstan
MGO 182. Fie k > 1 s , i a, b, c, d > 0 astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = d. Ar˘atat , i c˘
a
√ p √ p √
p
3
2
2
2
a k − 1 + d b k − 1 + d c k − 1 + d ≤ k (a + b)(b + c)(c + a).
Cˆand are loc egalitatea?
Daniel Jinga, Pites , ti
2
MGO 183. Fie a, b, c ∈ R, ∆ = b − 4ac, astfel ˆıncˆat a ≥ 1 s , i
√ √
2b + 1 − ∆ + 4c ≥ 1

(expresiile de sub radicali sunt presupuse mai mari sau egale cu 0).

2
a
Demonstrat , i c˘ funct , ia f : R → R, f(x) = ax + bx + c satisface relat , ia
2
f (f(x)) ≥ (f(x)) , ∀ x ∈ R.
Cristinel Mortici, Viforˆata

MGO 184. Pe laturile [AB] s , i [AC] ale triunghiului ABC se consider˘a punctele
P 1 , P 2 , . . . , P 2021 , respectiv Q 1 , Q 2 , . . . , Q 2021 , distincte dou˘ cˆate dou˘a, astfel ˆıncˆat
a
AP 1 = P 1 P 2 = P 2 P 3 = . . . = P 2020 P 2021 = P 2021 B,
AQ 1 = Q 1 Q 2 = Q 2 Q 3 = . . . = Q 2020 Q 2021 = Q 2021 C.

Determinat , i cˆate dintre dreptele P i Q j , i, j = 1, 2021, trec prin centrul de
greutate G al triunghiului ABC.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

MGO 185. Demonstrat , i c˘ ˆın orice triunghi ABC au loc identit˘at , ile
a
X 2 3 X 2 X 2 2 9 X 2 2 X 4 9 X 4
m = · a , m m = · a b , m = · a .
a
a
a
b
4 16 16
Mih´aly Bencze, Bras , ov