Page 5 - RMGO 5

Probleme propuse 5

Clasa a VII-a

a
MGO 171. Determinat , i n ∈ N cu proprietatea c˘ num˘arul
n
n
N = 2 · a + 4a + 1
este p˘atrat perfect pentru orice a ∈ N.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

∗
MGO 172. Demonstrat , i c˘ pentru orice n ∈ N ecuat , ia
a
x 4n = y 2n−1 + z 2n+1

are solut , ii ˆın mult , imea numerelor naturale nenule.

Dorin M˘arghidanu, Corabia

a
MGO 173. Pentru orice num˘ar natural n se consider˘ numerele reale
√ √
a = n s , i b = n + 23.

a
a) Exist˘ n ∈ N astfel ˆıncˆat ˆıntre a s , i b s˘ fie exact cinci numere naturale?
a
a
a
b) Exist˘ n ∈ N astfel ˆıncˆat ˆıntre a s , i b s˘ nu fie niciun num˘ar natural?
ˆ In caz afirmativ, determinat , i cel mai mic num˘ar n cu proprietatea dat˘a.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

MGO 174. Fie ABCDEF un hexagon regulat avˆand latura AB = a, a > 0 s , i
centrul O. Determinat , i cea mai mic˘a valoare a num˘arului a pentru care exist˘a
o dreapt˘a d ce intersecteaz˘a segmentele (AB), (OB), (OC), (OD) s , i (DE) ˆın
punctele M, N, P, Q, respectiv R astfel ˆıncˆat d ∦ AE s , i toate segmentele
MA, MB, NO, NB, PO, PC, QO, QD, RD, RE au lungimile numere naturale.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

MGO 175. Fie ABCD un dreptunghi, E un punct pe latura AD, F punctul de
intersect , ie a dreptelor BE s , i CD, iar G punctul de intersect , ie a dreptelor CE s , i
AB. Demonstrat , i c˘a BCFG este un patrulater circumscriptibil dac˘a s , i numai
a
dac˘ BC = 2AB.
Titu Zvonaru, Com˘anes , ti