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10 Probleme propuse

Clasa a XII-a

a
MGO 196. Fie S o parte stabil˘ a lui N ˆın raport cu adunarea.
S˘ se determine S, s , tiind c˘ {4, 5} ⊆ S.
a
a
Dorin M˘arghidanu, Corabia

MGO 197. Fie (R, ∗) un monoid astfel ˆıncˆat
xy
x ∗ 2 ∗ y = + x + y, ∀ x, y ∈ R.
2

a) Calculat , i 2 ∗ 2 ∗ . . . ∗ 2.
| {z }
2021 de 2
b) Calculat , i 1 ∗ 1 ∗ . . . ∗ 1.
| {z }
2021 de 1
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

∗
MGO 198. Fie m, n ∈ N s , i a > 0. Calculat , i integrala
Z
1 dx, x ∈ (0, ∞).
n
x (x + a) m
Daniel Jinga, Pites , ti

MGO 199. Fie f : [0, 1] → R o funct , ie continu˘a al c˘arei grafic admite drept

1
centru de simetrie punctul S , 0 s , i fie n s , i k dou˘a numere naturale impare,
2
k ≥ 3. Calculat , i integrala
Z
1 p
k n
f (x) dx.
0
Marin Chirciu, Pites , ti
MGO 200. Fie a 1 , a 2 , . . . , a n numere reale pozitive, n ≥ 3, astfel ˆıncˆat
n
a i
X
= 2.
a i + 1
i=1
a
Demonstrat , i c˘
1 1 1 n(n − 2)
+ + . . . + + ≥ (n − 1)(n − 2).
a 1 a 2 a n a 1 + a 2 + . . . + a n
Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin