Page 15 - RMGO 5

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 15

Clasa a VII-a

MGO 131. Determinat ,i perechile (x, y) de numere naturale nenule cu proprietatea
c˘a
2
x + y 2 · [7x, y] − 91xy = 0,
unde [7x, y] reprezint˘a cel mai mic multiplu comun al numerelor 7x s , i y.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
7x · y
2
2
a
a
a
Solut ,ie. Ecuat , ia dat˘ poate fi rescris˘ ca x + y = 13 · , adic˘
[7x, y]
2
2
x + y = 13(7x, y)
(unde (7x, y) reprezint˘ cel mai mare divizor comun al numerelor 7x s , i y).
a
2
2
Cazul 1. y 6= M7. Atunci ecuat , ia devine x +y = 13(x, y). Fie d = (x, y), deci

x = da 2 2 2 2 2
, (a, b) = 1 s , i ecuat , ia devine d (a + b ) = 13d, adic˘a d(a + b ) = 13,
y = db

x = a = 2 x = a = 3
2
2
deci d = 1 s , i a + b = 13, deci avem solut , iile s , i .
y = b = 3 y = b = 2
2
2
∗
Cazul 2. y = 7y 1 , y 1 ∈ N . Atunci ecuat , ia devine x + 49y = 91(x, y 1 ).
1
∗
2
2
Rezult˘a c˘a x = 7x 1 , x 1 ∈ N s , i ecuat , ia devine 7(x + y ) = 13(7x 1 , y 1 ), de unde
1 1
2
2
∗
rezult˘a c˘a y 1 = 7y 2 , y 2 ∈ N , iar ecuat , ia devine x + 49y = 13(x 1 , y 2 ). Fie
2
1

x 1 = da 2 2 2
d = (x 1 , y 2 ), deci , (a, b) = 1 s , i ecuat , ia devine d (a + 49b ) = 13d,
y 2 = db
∗
2
2
a
adic˘ d(a + 49b ) = 13, care nu are solut , ii ˆın N .
MGO 132. Demonstrat ,i c˘a fract ,ia
1 2019 + 2 2019 + 3 2019 + 4 2019 + 5 2019 + 6 2019
1 2020 + 2 2020 + 3 2020 + 4 2020 + 5 2020 + 6 2020
este reductibil˘a.
Ionel Tudor, C˘alug˘areni
Solut ,ie. Avem 6 2019 = (7 − 1) 2019 = M7 − 1, 5 2019 = (7 − 2) 2019 = M7 − 2 2019 s , i
4 2019 = (7−3) 2019 = M7−3 2019 , deci 1 2019 +2 2019 +3 2019 +4 2019 +5 2019 +6 2019 = M7.
Pe de alt˘a parte, avem 2 2020 = 2 3·673+1 = 2 · 8 673 = 2(7 + 1) 673 = 2(M7 + 1) =
2
M7+2, 4 2020 = 2 2020 2 = (M7+2) = M7+4, 3 2020 = (7−4) 2020 = M7+4 2020 =
M7+4, 5 2020 = (7−2) 2020 = M7+2 2020 = M7+2 s , i 6 2020 = (7−1) 2020 = M7+1,
deci 1 2020 + 2 2020 + 3 2020 + 4 2020 + 5 2020 + 6 2020 = 2(1 + M7 + 2 + M7 + 4) = M7.
a
a
a
a
Rezult˘ c˘ fract , ia dat˘ se simplific˘ prin 7, deci este reductibil˘a.