Page 18 - RMGO 5

18 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

" #
r r
a + 2020 a + 2020 a + 2020
2
2
= a; a ≤ < a + 1; a ≤ < a + 2a + 1;
505 505 505
2
505a − a − 2020 ≤ 0 . Prima ecuat , ie a acestui sistem are solut , iile naturale
2
505a + 1009a − 1515 > 0
a
a ∈ {0, 1, 2}, dintre care doar a = 2 verific˘ s , i a doua ecuat , ie a sistemului. Astfel
a = 2, deci exist˘ un singur num˘ar n cu proprietatea din enunt , , s , i anume n = 2022.
a
1
∗
MGO 137. Pentru orice n ∈ N consider˘am numerele a n = s , i
n(n + 1)
1 1 1 1
S n = + + + . . . + .
a 1 a 1 + a 2 a 1 + a 2 + a 3 a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n
Ar˘atat ,i c˘a 68 < S 64 < 71.

Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
n n
P 1 P 1 1
Solut ,ie. Avem a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n = = − =
k(k + 1) k k + 1
k=1 k=1
n
n
n
n
1 n P 1 P k + 1 P 1 P 1
1 − = , deci S n = = = 1 + = n + .
n + 1 n + 1 k k k k
k=1 k=1 k=1 k=1
k + 1
Prin urmare
1 1 1 1 1 1
S 64 = 64 + 1 + + + . . . + = 65 + + + . . . + .
2 3 64 2 3 64

1 1 1 1 1 1 1
Astfel avem S 64 = 65 + + + + + . . . + + + . . . + +
2 3 4 5 8 9 16

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ . . . + + + . . . + > 65+ +2· +4· +8· +16· +32· =
17 32 33 64 2 4 8 16 32 64
1 1 1 1 1 1
65 + + + + + + = 65 + 3 = 68.
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1
a
Pe de alt˘ parte, avem S 64 = 65+ + + + . . . + + + . . . + +
2 3 4 7 8 15

1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ . . . + + + . . . + + < 65 + 2 · + 4 · + 8 · + 16 · +
16 31 32 63 64 2 4 8 16
1 1 1 1
32 · + = 65 + 5 + = 70 + < 71.
32 64 64 64
MGO 138. Ar˘atat ,i c˘a pentru orice x 1 ≥ 1, x 2 ≥ 2 s , i x 3 ≥ 3 astfel ˆıncˆat
1 2 3
+ + = s, s ∈ (0, 3), are loc inegalitatea
x 1 x 2 x 3
√ √ √
p
(3 − s)(x 1 + x 2 + x 3 ) ≥ x 1 − 1 + x 2 − 2 + x 3 − 3.
Dorin M˘arghidanu, Corabia