Page 21 - RMGO 5

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 21

Clasa a IX-a

MGO 141. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale urm˘atorul sistem de ecuat ,ii:
( 2 2 2
a + b + c = 1
√ √ .
2
|a + 4b − 5c| + |b + 4c − 5a| + |c + 4a − 5b| + 14(a + b + c) = 3 14
Do Xuan Trong, Vietnam
Solut ,ie (Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Fie a + b + c = s. Avem
√ √ 1
a
a
|s| ≤ 3, iar |s| = 3 dac˘ s , i numai dac˘ a = b = c = ±√ .
3
Not˘am a+4b−5c = x, b+4c−5a = y, c+4a−5b = z. Atunci x+y +z = 0 s , i
2
2
2
2
2
x +y +z = −2 (xy + yz + zx) = 2 |xy + yz + zx|. Avem (|x| + |y| + |z|) = x +
2
2
2
2
2
2
2
y +z +2 (|xy| + |yz| + |zx|) ≥ x +y +z +2 |xy + yz + zx| = 2 x + y + z 2 ,
2
2
a
cu egalitate dac˘ s , i numai dac˘ |xy| + |yz| + |zx| = |xy + yz + zx|. Cum x + y +
a
2
2
2
z = 42 a + b + c 2 − 42(ab + bc + ca), deducem c˘
a
p
2
|a + 4b − 5c| + |b + 4c − 5a| + |c + 4a − 5b| ≥ 42 (3 − s ).
√ √
p 2 p 2
2
2
Vom demonstra c˘a 42 (3 − s ) + 14 · s ≥ 3 14, adic˘a 3 (3 − s ) + s ≥ 3,
√ √ √
adic˘a 3 − s 2 3 − 3 − s 2 ≥ 0, adev˘arat, cu egalitate dac˘a s , i numai dac˘a
√
|s| = 3 sau s = 0.
√ 1
De mai sus, |s| = 3 dac˘a s , i numai dac˘a a = b = c = ±√ . S˘a remarc˘am c˘a
3
1
a = b = c = ±√ sunt solut , ii ale sistemului.
3
Vom studia ˆın continuare existent , a solut , iilor ˆın cazul s = 0. De mai sus,
solut , ii pot exista dac˘ |xy| + |yz| + |zx| = |xy + yz + zx|. Dar |xy| + |yz| + |zx| =
a
|xy + yz + zx| dac˘a s , i numai dac˘a x · xyz ≥ 0, y · xyz ≥ 0 s , i z · xyz ≥ 0. Dac˘a,
a
prin absurd, xyz 6= 0 atunci, cum x + y + z = 0, dou˘ numere au semnul opus celui
ˆ
de-al treilea, ceea ce contrazice x · xyz ≥ 0, y · xyz ≥ 0 s , i z · xyz ≥ 0. In concluzie,
 2 2 2
 a + b + c = 1 3
xyz = 0. Fie cazul x = 0. Avem a + b + c = 0 , iar de aici a = ±√ ,
14
a + 4b − 5c = 0

2 1
b = ∓√ , c = ∓√ . Cazurile y = 0 s , i z = 0 se trateaz˘ analog.
a
14 14
ˆ In concluzie, solut , iile sistemului sunt:
 1
a = b = c = ± √
 3

 3 2 1
 a = ± √ , b = ∓ √ , c = ∓ √
14 14 14 .
1
3
 a = ± √ , b = ∓ √ , c = ± √ 2
 14 14 14

a = ± √ , b = ± √ , c = ∓ √
 2 1 3
14 14 14