Page 22 - RMGO 5

22 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

∗
MGO 142. Fie a ∈ N . Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia

x x x
− = .
a a + 1 2a + 1
Marin Chirciu, Pites , ti

x x x x x
Solut ,ie. Evident ∈ Z, iar ecuat , ia se rescrie − − + =
2a + 1 a a a + 1 a + 1
2
x (a − a − 1)x x
x
a
, adic˘ = − . Cum {y} ∈ [0, 1) pentru orice
2a + 1 a(a + 1)(2a + 1) a + 1 a
2
(a − a − 1)x
a
a
y ∈ R, rezult˘ c˘ ∈ (−1, 1). Astfel
a(a + 1)(2a + 1)
2
x a + a x

< , cu ∈ Z.
2
2a + 1 2a + 1
|a − a − 1|
x

Cazul 1. Pentru a = 1 obt , inem < 2 cu ∈ Z, deci x ∈ {−3, 0, 3}, iar prin
x
3 3
a
verificare rezult˘ c˘ solut , iile ecuat , iei date sunt doar x ∈ {−3, 0}.
a
x

Cazul 2. Pentru a = 2 obt , inem < 6 cu ∈ Z, deci x ∈ {−25, −20, −15, −10,
x
5 5
a
−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25}, iar prin verificare rezult˘ c˘ solut , iile ecuat , iei date sunt doar
a
x ∈ {−15, −5, 0, 5, 10, 20}.
12 x

Cazul 3. Pentru a = 3 obt , inem < cu ∈ Z, deci x ∈ {−14, −7, 0, 7, 14},
x
7 5 7
a
iar prin verificare rezult˘ c˘ solut , iile ecuat , iei date sunt doar x ∈ {−7, 0, 7}.
a
2
x a + a x

Cazul 4. Pentru a ≥ 4 obt , inem < < 2, cu ∈ Z,
2a + 1 a − a − 1 2a + 1
2
deci x ∈ {−2a − 1, 0, 2a + 1}, care verific˘ ecuat , ia dat˘a.
a
MGO 143. Fie a, b, c, d numere reale pozitive astfel ˆıncˆat ab+bc+cd+da = 4abcd.
Demonstrat ,i c˘a
1 1 1 1 √
√ + √ + √ + √ ≤ 2 2.
3
3
3
3
a + b 3 b + c 3 c + d 3 d + a 3
Daniel Jinga, Pites , ti
3
3
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti). Folosind inegalitatea x + y ≥ xy (x + y) pentru
orice x, y > 0 s , i Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz avem
1 1 1 1
√ + √ + √ + √
3
3
3
3
a + b 3 b + c 3 c + d 3 d + a 3
1 1 1 1
≤ √ √ + √ √ + √ √ + √ √
ab · a + b bc · b + c cd · c + d da · d + a
r r
1 1 1 1 1 1 1 1
≤ + + + · + + + , (1) .
ab bc cd da a + b b + c c + d d + a