Page 20 - RMGO 5

20 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

MGO 140. Se consider˘a piramida hexagonal˘a regulat˘a V ABCDEF cu muchia
bazei AB = 9 cm s , i ˆın˘alt ,imea V O = 12 cm. Dintre toate prismele hexagonale
a
regulate ˆınscrise ˆın piramida dat˘a, se consider˘ aceea de volum maxim. Calculat ,i:
a) raportul dintre volumul acestei prisme s , i volumul piramidei;

b) ˆın˘alt ,imea prismei;
c) distant ,a de la V la vˆarfurile prismei situate pe fet ,ele laterale ale piramidei.

Florea Badea, Scornices , ti
Solut ,ie. Not˘am h 1 = ˆın˘alt , imea prismei, a 1 = aria bazei prismei, v 1 = volumul
prismei, h 2 = ˆın˘alt , imea piramidei, a 2 = aria bazei piramidei, v 2 = volumul
piramidei. Avem
√ √
2
3 · AB · 3 243 3 a 2 · h 2 √
2
3
h 2 = V O = 12 cm, a 2 = = cm , v 2 = = 486 3 cm .
2 2 3
Folosind raportul de asem˘anare dintre piramida mic˘a, cu vˆarful V s , i avˆand ca
baz˘ baza superioar˘ a prismei, s , i piramida mare V ABCDEF, avem
a
a
a 1 (h 2 − h 1 ) 2
= ,
a 2 h 2
2
√
27 3
2
de unde rezult˘ c˘ a 1 = · (12 − h 1 ) s , i prin urmare
a
a
32
√
27 3 2
v 1 = a 1 h 1 = · h 1 · (12 − h 1 ) .
32
Putem rescrie aceast˘ expresie astfel:
a
√
27 3 12 − h 1 12 − h 1
v 1 = · h 1 · · .
8 2 2
Folosind Inegalitatea mediilor avem
3

12 − h 1 12 − h 1
h 1 + +
12 − h 1 12 − h 1 2 2 3
h 1 · · ≤ = 4 ,
2 2 27
12 − h 1
cu egalitate dac˘ s , i numai dac˘ = h 1 , adic˘ h 1 = 4.
a
a
a
2
a
a
Rezult˘ c˘ v 1 este maxim pentru h 1 = 4 cm.
√ v 1 4
3
Atunci avem v 1 = 216 3 cm , deci = .
v 2 9
V M h 2 − h 1 V M 8
Fie M ∈ (V A) un vˆarf al prismei. Avem = , adic˘a = ,
V A h 2 15 12
deci V M = 10 cm.