Page 16 - RMGO 5

16 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

MGO 133. Determinat ,i numerele prime p s , i q, p > 3, astfel ˆıncˆat
(p − 3)! + 9 8
− 4225 = q ,
p − 2

∗
unde n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n, pentru orice n ∈ N .
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
8

a
a
Solut ,ie. Ecuat , ia dat˘ poate fi rescris˘ ca (p−3)!+9 = (p−2) q + 4225 . Evident,
pentru p = 4 sau p = 5 nu avem solut , ii, deci p ≥ 6. Prin urmare (p−3)! este num˘ar
8
par, deci (p − 3)! + 9 este impar, deci s , i q + 4225 este impar. Astfel q este par s , i
a
prim, deci q = 2. Ecuat , ia devine (p − 3)! + 9 = 4481(p − 2), care poate fi rescris˘
a
ca (p − 3) · (p − 4)! + 9 = 4481(p − 3) + 4481, adic˘ (p − 3) [(p − 4)! − 4481] = 4472,
ecuat , ie care are solut , ia unic˘ p = 11.
a
MGO 134. Se consider˘a un triunghi neisoscel ABC. Fie G centrul s˘au de
a
a
greutate s , i I centrul cercului ˆınscris ˆın acest triunghi. Ar˘atat ,i c˘ dac˘ GI ⊥ BC,
b + c
atunci a = , unde a, b s , i c sunt lungimile laturilor BC, AC s , i respectiv AB.
3
Reciproca este adev˘arat˘a?
Nicolae St˘aniloiu, Bocs , a
Solut ,ie. Fie ID ⊥ BC, D ∈ (BC). Atunci DB = p − b s , i DC = p − c, unde
a + b + c
2
p = . Pe de alt˘a parte, folosind Formula medianei obt , inem c˘a GB =
2
2
2
2
2
2(a + c ) − b 2 2(a + b ) − c 2
2
s , i GC = . Astfel avem echivalent , ele:
9 9
2
2
2(a + c ) − b 2
2
2
2
2
GI ⊥ BC ⇔ GD ⊥ BC ⇔ GB − GC = DB − DC ⇔ −
9
2
2
2
2
2(a + b ) − c 2 3(c − b )
2
2
= (p − b) − (p − c) ⇔ = (c − b)(2p − b − c) ⇔
9 9
(c − b)(c + b) b + c
= (c − b) · a ⇔ a = .
3 3
Prin urmare atˆat afirmat , ia din enunt , cˆat s , i reciproca ei sunt adev˘arate.
◦
MGO 135. Fie ABCD un patrulater cu AB = BC = CD, m (^ABC) = 70 s , i
◦
m (^BCD) = 170 .
a) Calculat ,i m˘asura unghiului dintre diagonalele patrulaterului.
b) Calculat ,i m˘asurile unghiurilor BAD s , i ADC ale patrulaterului.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
ˆ
Solut ,ie. a) Fie O punctul de intersect , ie dintre diagonalele AC s , i BD. In 4ABC
◦
180 − 70 ◦
◦
isoscel avem m (^ACB) = m (^BAC) = = 55 , iar ˆın 4BCD isoscel
2