Page 13 - RMGO 5

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 13

Clasa a VI-a

n
MGO 126. Determinat ,i numerele naturale n pentru care num˘arul 2020 − 2019 n
este divizibil cu 7.
Ionel Tudor, C˘alug˘areni

n
n
n
n
n
Solut ,ie. Avem 2020 − 2019 = (7 · 288 + 4) − (7 · 288 + 3) = M7 + 4 −
n
n
n
n
n
M7 − 3 = M7 + (7 − 3) − 3 = M7 + (−3) − 3 . Pentru n par obt , inem
n
n
c˘a 2020 − 2019 n = M7 + 3 − 3 n = M7, iar pentru n impar obt , inem c˘a
n
n
n
n
n
n
2020 − 2019 = M7 − 3 − 3 = M7 − 2 · 3 6= M7 (deoarece 3 nu se divide cu
ˆ
n
n
7). In concluzie, 2020 − 2019 este divizibil cu 7 dac˘ s , i numai dac˘ n este par.
a
a
9
MGO 127. Rezolvat ,i ˆın numere ˆıntregi ecuat ,ia x 15 + y = 2020.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
9
Solut ,ie. Cum x 15 s , i y sunt cuburi perfecte, iar orice cub perfect este de forma
a
a
M7, M7 + 1 sau M7 + 6, rezult˘ c˘
9
x 15 + y ∈ {M7, M7 + 1, M7 + 2, M7 + 5, M7 + 6} .
a
a
Cum 2020 = M7 + 4, rezult˘ c˘ ecuat , ia dat˘ nu are solut , ii.
a
∗
MGO 128. Fie a, b, c ∈ Q s , i n ∈ N astfel ˆıncˆat a + b 6= 0, b + c 6= 0 s , i
2
a + b c − a n + n + 1
(n + 1)a + b = nc. Ar˘atat ,i c˘a + = .
b + c a + b n(n + 1)
Marin Chirciu, Pites , ti
ˆ
Solut ,ie. Inlocuind b = nc − (n + 1)a obt , inem
a + b c − a nc − na c − a n(c − a) c − a
+ = + = +
b + c a + b (n + 1)c − (n + 1)a nc − na (n + 1)(c − a) n(c − a)
2
n 1 n + n + 1
= + = .
n + 1 n n(n + 1)
◦
MGO 129. Fie triunghiul isoscel ABC cu AB = AC s , i ^A = 20 . Se construiesc
∗
semidreptele s 1 , s 2 , . . . , s m , m ∈ N , fiecare avˆand originea ˆın punctul B s , i fiind
interioar˘a unghiului ^ABC, astfel ˆıncˆat unghiul dintre semidreapta s i s , i semi-
◦
a
a
a
dreapta [BC s˘ aib˘ m˘asura egal˘ cu i · 5 , pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , m}. Analog,
∗
se construiesc semidreptele t 1 , t 2 , . . . , t n , n ∈ N , fiecare avˆand originea ˆın punctul
C s , i fiind interioar˘a unghiului ^ACB, astfel ˆıncˆat unghiul dintre semidreapta t j
◦
s , i semidreapta [CB s˘a aib˘a m˘asura egal˘a cu j · 3 , pentru orice j ∈ {1, 2, . . . , n}.