Page 17 - RMGO 5

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 17

◦
180 − 170 ◦
◦
avem m (^CBD) = m (^BDC) = = 5 . Cum ^AOB este unghi
2
◦
exterior triunghiului BOC, avem m (^AOB) = m (^ACB) + m (^CBD) = 60 .
◦
b) Fie punctul E ˆın interiorul unghiului ABC astfel ˆıncˆat m (^ABE) = 60 s , i
◦
◦
◦
BE = AB. Atunci 4ABE este echilateral. Cum m (^CBE) = 70 − 60 = 10 ,
◦
rezult˘a c˘a m (^CBE) + m (^BCD) = 180 , deci BE k CD. Dar BE = AB =
a
a
BC = CD, deci BCDE este romb. Rezult˘ c˘ m (^BED) = m (^BCD) = 170 ◦
s , i ED = EB = EA. Deci E este centrul cercului circumscris triunghiului ABD,
1
◦
^BED este unghi la centru, prin urmare m (^BAD) = · m (^BED) = 85 .
2
◦
◦
◦
◦
◦
Astfel m (^ADC) = 360 − (85 + 70 + 170 ) = 35 .
Clasa a VIII-a
MGO 136. Pentru orice num˘ar natural nenul n consider˘am mult ,imea
)
r r
(r
r
1 2 3 n
A n = , , , . . . , .
2020 2020 2020 2020
∗
a) Cˆate numere n ∈ N au proprietatea c˘a A n cont ,ine exact 2020 de numere
rat ,ionale?
b) Dar exact 2020 de numere irat ,ionale?
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
∗
Solut ,ie. Fie n ∈ N s , i k ∈ {1, 2, . . . , n}. Avem echivalent , ele:

r r 2
2  k = 505m , m ∈ N
k k k = 505m , m ∈ N r
= ∈ Q ⇔ 2 ⇔ n
2
2020 2 · 5 · 101 1 ≤ 505m ≤ n  1 ≤ m ≤
505
a
(unde [x] reprezint˘ partea ˆıntreag˘ a num˘arului real x), deci num˘arul de elemente
a
r
n
rat , ionale ale mult , imii A n este egal cu .
505
r n
∗
a) Num˘arul cerut este num˘arul de solut , ii din N ale ecuat , iei = 2020.
505
r
n
2
Aceasta este echivalent˘a cu 2020 ≤ < 2021, adic˘a cu 505 · 2020 ≤ n <
505
2
2
2
505 · 2021 , deci are 505 · 2021 − 505 · 2020 = 505 · 4041 = 2040705 solut , ii.
r n
∗
b) Num˘arul cerut este num˘arul de solut , ii din N ale ecuat , iei =
505
n − 2020. Notˆand n − 2020 = a ∈ N, aceasta este echivalent˘a, succesiv, cu